Tại sao chúng ta không chia cho số XNUMX?
nội dung
Độc giả có thể thắc mắc tại sao tôi lại dành cả một bài báo cho một vấn đề tầm thường như vậy? Nguyên nhân là do số lượng học sinh (!) Ngang nhiên thực hiện hoạt động dưới danh nghĩa. Và không chỉ học sinh. Đôi khi tôi bắt gặp và giáo viên. Học sinh của những giáo viên như vậy sẽ làm được gì trong môn toán? Lý do ngay lập tức để viết văn bản này là một cuộc trò chuyện với một giáo viên, người mà phép chia cho số XNUMX không phải là một vấn đề ...
Với số XNUMX, có, ngoại trừ rắc rối không có gì cả, bởi vì chúng ta không thực sự cần sử dụng nó trong cuộc sống hàng ngày. Chúng tôi không đi mua trứng không có trứng. "Có một người trong phòng" nghe có vẻ tự nhiên và "không có người" nghe có vẻ giả tạo. Các nhà ngôn ngữ học nói rằng số XNUMX nằm ngoài hệ thống ngôn ngữ.
Chúng ta cũng có thể làm mà không cần số XNUMX trong tài khoản ngân hàng: chỉ cần sử dụng - như trên nhiệt kế - màu đỏ và xanh lam cho các giá trị dương và âm (lưu ý rằng đối với nhiệt độ, việc sử dụng màu đỏ cho các số dương là điều đương nhiên và đối với tài khoản ngân hàng thì nó là cách khác, bởi vì ghi nợ sẽ kích hoạt cảnh báo, vì vậy màu đỏ rất được khuyến khích).
Bằng cách đưa số XNUMX vào làm số tự nhiên, chúng ta đề cập đến vấn đề phân biệt số đếm od hộ gia đình. Trong vòng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,… ..
lũy thừa của con số giống như số vị trí của nó. Nếu không, nó đã nằm trong dãy 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,… ..
Số tập hợp đơn đứng thứ hai, số tập hợp có hai phần tử đứng thứ ba, v.v. Ví dụ, chúng tôi phải giải thích lý do tại sao chúng tôi không đánh số vị trí của các vận động viên trong các cuộc thi từ đầu. Sau đó, người chiến thắng ở vị trí đầu tiên sẽ nhận được huy chương bạc (huy chương vàng thuộc về người chiến thắng ở vị trí số XNUMX), v.v.. Một thủ tục hơi giống nhau đã được sử dụng trong bóng đá - Tôi không biết liệu Độc giả có biết rằng "giải đấu một" có nghĩa là " theo đuổi điều tốt nhất." “, và giải đấu số XNUMX được gọi để trở thành “giải đấu lớn”.
Đôi khi chúng ta nghe lập luận rằng chúng ta cần bắt đầu lại từ đầu, vì nó thuận tiện cho dân IT. Tiếp tục những cân nhắc này, định nghĩa về km nên được thay đổi - nó phải là 1024 m, bởi vì đây là số byte trong một kilobyte (Tôi sẽ đề cập đến một trò đùa mà các nhà khoa học máy tính biết đến: “Sự khác biệt giữa sinh viên năm nhất và một sinh viên khoa học máy tính và một sinh viên năm thứ năm của khoa này? rằng một kilobyte bằng 1000 kilobyte, cuối cùng - rằng một km là 1024 mét")!
Một quan điểm khác, cần được xem xét một cách nghiêm túc, đó là: chúng tôi luôn đo lường từ đầu! Nhìn vào bất kỳ thang điểm nào trên thước, trên cân gia dụng, thậm chí trên đồng hồ là đủ. Vì chúng ta đo từ XNUMX, và đếm có thể hiểu là một phép đo có đơn vị không thứ nguyên, thì chúng ta nên đếm từ XNUMX.
Đó là một vấn đề đơn giản, nhưng ...
Hãy rời khỏi lý luận chung và quay trở lại phép chia cho số không. Vấn đề đơn giản và nó sẽ đơn giản nếu không có ... vậy thì sao? Hãy suy nghĩ và thử. Nó có thể là bao nhiêu - một chia cho số không? Xem nào: 1/0 = x. Nhân cả hai vế với mẫu số của vế trái.
Ta nhận được 1 = 0. Có gì đó không đúng ở đây! Chuyện gì đã xảy ra thế? À đoán! Giả thiết rằng có một thương số của sự thống nhất và số không dẫn đến một mâu thuẫn. Và nếu một số không thể chia hết cho số XNUMX, thì một số khác cũng có thể. Nếu, bạn đọc, bạn nhún vai và tự hỏi tại sao tác giả (tức là tôi) lại viết về những số phận như vậy, thì ... tôi rất mừng!
Công thức 0/0 = 0 có thể được bảo vệ dựa trên cơ sở cố định, nhưng nó mâu thuẫn với quy tắc rằng kết quả của phép chia một số cho chính nó bằng một. Hoàn toàn có thể, nhưng hoàn toàn khác là các ký hiệu như 0/0, ° / ° và những ký hiệu tương tự trong giải tích. Chúng không có nghĩa là bất kỳ số nào, nhưng là ký hiệu tượng trưng cho các chuỗi cụ thể của một số loại nhất định.
Trong một cuốn sách kỹ thuật điện, tôi đã tìm thấy một so sánh thú vị: chia cho số XNUMX cũng nguy hiểm như điện cao thế. Điều này là bình thường: Định luật Ohm nói rằng tỷ số của điện áp trên điện trở bằng với dòng điện: V = U / R. Nếu điện trở bằng XNUMX, về mặt lý thuyết sẽ có dòng điện vô hạn chạy qua vật dẫn, đốt cháy tất cả các vật dẫn có thể có.
Tôi đã từng viết một bài thơ về sự nguy hiểm của việc chia hết cho số XNUMX cho mỗi ngày trong tuần. Tôi nhớ rằng ngày kịch tính nhất là thứ Năm, nhưng thật đáng tiếc cho tất cả công việc của tôi trong lĩnh vực này.
Khi bạn chia một cái gì đó cho XNUMX
Rất sớm thứ hai
Tuần chuyện gì vừa xảy ra
Bạn đã thất bại thảm hại.
Khi chiều thứ ba
Bạn đặt số XNUMX ở mẫu số
Tôi sẽ nói với bạn sau đó, bạn sai
Nhà toán học tồi!
Khi vượt qua con số không, thông qua sự biến thái,
Muốn tách vào thứ Tư
Bạn sẽ gặp rất nhiều rắc rối
Bạn có cỏ khô và nước trong đầu!
Một Bartek nhất định đã ở với chúng tôi.
Anh ấy đã mâu thuẫn với các quy tắc.
Vào thứ năm, nó chia hết cho không.
Anh ấy không còn giữa chúng ta nữa!
Nếu một mong muốn kỳ lạ nắm lấy bạn
Chia cho XNUMX vào thứ Sáu
Tôi sẽ trung thực, tôi sẽ trung thực:
Khởi đầu tồi tệ cho cuối tuần này.
Khi nó bằng XNUMX, một nơi nào đó vào thứ Bảy
Dải phân cách sẽ là của bạn (không in đậm)
Quỳ dưới hàng rào nhà thờ.
Đây là sự phục sinh của bạn.
Bạn có muốn số XNUMX dưới dấu gạch ngang,
Đi nghỉ vào Chủ nhật
Mang theo phấn, bảng đen.
Viết: nó không chia hết cho không!
Số không gắn liền với trống rỗng và hư vô. Thật vậy, ông đến với toán học như một đại lượng mà khi thêm vào bất kỳ, nó không thay đổi: x + 0 = x. Nhưng bây giờ số XNUMX xuất hiện trong một số giá trị khác, đáng chú ý nhất là quy mô bắt đầu. Nếu bên ngoài cửa sổ không có nhiệt độ dương cũng như không có sương giá, thì ... đây là số không, điều đó không có nghĩa là không có nhiệt độ nào cả. Di tích không hạng không phải là di tích đã bị phá bỏ từ lâu và đơn giản là không tồn tại. Ngược lại, nó giống như Wawel, Tháp Eiffel và Tượng Nữ thần Tự do.
Chà, tầm quan trọng của số XNUMX trong một hệ thống vị trí khó có thể được đánh giá quá cao. Bạn có biết Bill Gates có bao nhiêu số XNUMX trong tài khoản ngân hàng của mình không? Tôi không biết, nhưng tôi muốn một nửa. Rõ ràng, Napoléon Bonaparte nhận thấy rằng mọi người giống như những con số không: họ có được ý nghĩa thông qua vị trí. Trong bộ phim As the Years, As the Days trôi qua của Andrzej Wajda, nghệ sĩ đam mê Jerzy bùng nổ: "Philistine là zero, nihil, nothing, nothing, nihil, zero." Nhưng số XNUMX có thể là tốt: "độ lệch XNUMX so với tiêu chuẩn" có nghĩa là mọi thứ đang diễn ra tốt đẹp, và hãy duy trì nó!
Hãy quay lại với toán học. Số không có thể được cộng, trừ và nhân với sự trừng phạt. Manya nói với Anya: “Tôi không tăng được kg nào. “Và điều này thật thú vị, bởi vì tôi đã giảm được số cân tương tự,” Anya trả lời. Vì vậy, chúng ta hãy ăn sáu phần không kem sáu lần, nó sẽ không làm hại chúng ta.
Chúng ta không thể chia cho số không, nhưng chúng ta có thể chia cho số không. Có thể dễ dàng phát một đĩa bánh bao không cho những người đang đợi ăn. Mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu?
Số không không phải là tích cực hay tiêu cực. Cái này và số không tích cựcи không tiêu cực. Nó thỏa mãn các bất đẳng thức x≥0 và x≤0. Mâu thuẫn "cái gì đó tích cực" không phải là "cái gì đó tiêu cực", mà là "cái gì đó tiêu cực hoặc bằng 0". Các nhà toán học, trái với các quy tắc của ngôn ngữ, sẽ luôn nói rằng một cái gì đó là "bằng không" chứ không phải "bằng không". Để biện minh cho thực hành này, chúng ta có: nếu chúng ta đọc công thức x = 1 "x bằng 1534267" thì x = 0 chúng ta đọc "x bằng một", điều này có thể bị nuốt, nhưng còn "x = XNUMX" ? Bạn cũng không thể gán giá trị số cho ký tự XNUMX0cũng không nâng số không lên một công suất âm. Mặt khác, bạn có thể root số XNUMX theo ý muốn ... và kết quả sẽ luôn là số không.
Hàm mũ y = ax, cơ số dương của a, không bao giờ trở thành số không. Theo đó, không có logarit bằng không. Thật vậy, logarit của a với cơ số b là số mũ mà cơ số phải được nâng lên để nhận được logarit của a. Đối với a = 0, không có chỉ số nào như vậy và số XNUMX không thể là cơ số của lôgarit. Tuy nhiên, số XNUMX trong "mẫu số" của biểu tượng Newton là một cái gì đó khác. Chúng tôi giả định rằng những quy ước này không dẫn đến mâu thuẫn.
bằng chứng giả
Phép chia cho số XNUMX là một chủ đề phổ biến cho các chứng minh sai, và nó xảy ra ngay cả với các nhà toán học có kinh nghiệm. Hãy để tôi cung cấp cho bạn hai ví dụ yêu thích của tôi. Đầu tiên là đại số. Tôi sẽ "chứng minh" rằng tất cả các số đều bằng nhau. Giả sử có hai số không bằng nhau. Do đó, một trong số chúng lớn hơn cái kia, cho a> b. Chúng ta hãy giả sử rằng c là sự khác biệt của chúng
c \uXNUMXd a - b. Vậy ta có a - b = c, do đó a = b + c.
Chúng tôi nhân cả hai phần sau với a - b:
a2 - ab = ab + ac - b2 - bc.
Tôi dịch ak sang phía bên trái, tất nhiên tôi nhớ về việc thay đổi dấu hiệu:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Tôi loại trừ các yếu tố phổ biến:
A (a-b-c) \ uXNUMXd b (a-b-c),
Tôi chia sẻ và tôi có những gì tôi muốn:
a = b.
Và thực sự còn lạ hơn nữa, bởi vì tôi đã giả định rằng a> b, và tôi nhận được rằng a = b. Tôi sẽ chứng minh rằng ... hình thang không tồn tại. Hình thường được gọi là hình thang không tồn tại.
Nhưng trước tiên, giả sử rằng có một hình thang (ABCD trong hình bên). Nó có hai cạnh song song ("căn cứ"). Hãy kéo dài các cơ sở này, như thể hiện trong hình, để chúng ta có một hình bình hành. Các đường chéo của nó chia đường chéo khác của hình thang thành các đoạn có độ dài được ký hiệu là x, y, z, như trong bức tranh 1. Từ sự đồng dạng của các tam giác tương ứng, ta thu được tỉ lệ:
nơi chúng tôi xác định:
Oraz
nơi chúng tôi xác định:
Trừ các cạnh của bằng nhau được đánh dấu bằng dấu hoa thị:
Rút gọn cả hai cạnh x − z, ta được – a/b = 1, nghĩa là a + b = 0. Nhưng các số a, b là độ dài các đáy của hình thang. Nếu tổng của chúng bằng không, thì chúng cũng bằng không. Điều này có nghĩa là không thể tồn tại một hình như hình thang! Và vì hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông cũng là hình thang, nên bạn đọc thân mến, không có hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông ...
Đoán đoán
Chia sẻ thông tin là hoạt động thú vị và thách thức nhất trong bốn hoạt động cơ bản. Ở đây, lần đầu tiên chúng ta gặp một hiện tượng quá phổ biến ở tuổi trưởng thành: "đoán câu trả lời, và sau đó kiểm tra xem bạn đoán đúng hay không." Điều này được Daniel K. Dennett thể hiện rất khéo léo (“Làm thế nào để mắc sai lầm?”, Trong Nó là như thế nào - Hướng dẫn khoa học về vũ trụ, CiS, Warsaw, 1997):
Phương pháp "đoán" này không can thiệp vào cuộc sống trưởng thành của chúng ta - có lẽ vì chúng ta học nó sớm và việc đoán không khó. Về mặt lý tưởng, hiện tượng tương tự xảy ra, chẳng hạn, trong quy nạp (hoàn chỉnh) toán học. Ở cùng một vị trí, chúng tôi “đoán” công thức và sau đó kiểm tra xem đoán của chúng tôi có đúng hay không. Học sinh luôn hỏi: “Làm thế nào chúng tôi biết được mô hình? Làm thế nào nó có thể được lấy ra? " Khi sinh viên hỏi tôi câu hỏi này, tôi biến câu hỏi của họ thành một trò đùa: "Tôi biết điều này bởi vì tôi là một người chuyên nghiệp, bởi vì tôi được trả tiền để biết." Học sinh ở trường có thể được trả lời theo cùng một phong cách, chỉ nghiêm túc hơn.
Tập thể dục. Lưu ý rằng chúng ta bắt đầu phép cộng và viết nhân với đơn vị thấp nhất và phép chia với đơn vị cao nhất.
Sự kết hợp của hai ý tưởng
Các giáo viên dạy toán luôn chỉ ra rằng cái mà chúng ta gọi là sự xa cách của người lớn là sự kết hợp của hai ý tưởng khác nhau về mặt khái niệm: Nhà ở i tách biệt.
Cái đầu tiên (Nhà ở) xảy ra trong các tác vụ có nguyên mẫu là:
Chia-chia Đây là những nhiệm vụ như:
? (Chúng tôi giữ nguyên phong cách ban đầu của vấn đề này, lấy từ cuốn sổ tay của Julian Zgozalewicz xuất bản ở Krakow năm 1892 - złoty là đồng złoty của Rhenish, loại tiền được lưu hành ở Đế quốc Áo-Hung cho đến đầu thế kỷ XNUMX).
Bây giờ hãy xem xét hai vấn đề với sách giáo khoa toán học cổ nhất bằng tiếng Ba Lan, cha Tomasz Clos (1538). Nó là một bộ phận hay một chiếc coupe? Giải quyết nó theo cách học sinh ở thế kỷ XNUMX nên:
(Bản dịch từ tiếng Ba Lan sang tiếng Ba Lan: Có một quart và bốn bình trong một thùng. Một bình là bốn quart. Ai đó đã mua 20 thùng rượu với giá 50 zł để giao dịch. Thuế quan và thuế (tiêu thụ đặc biệt?) sẽ là 8 zł. Bao nhiêu để bán một lít để kiếm 8 zł?)
Thể thao, vật lý, sự tương đồng
Đôi khi trong các môn thể thao, bạn phải chia một thứ gì đó cho không (tỷ lệ bàn thắng). Vâng, các thẩm phán bằng cách nào đó giải quyết nó. Tuy nhiên, trong đại số trừu tượng, chúng nằm trong chương trình nghị sự. số lượng khác XNUMXcó bình phương bằng không. Nó thậm chí có thể được giải thích một cách đơn giản.
Xét một hàm F liên kết một điểm (y, 0) với một điểm trong mặt phẳng (x, y). F là gì2, nghĩa là, thực hiện kép F? Chức năng Zero - mỗi điểm có một hình ảnh (0,0).
Cuối cùng, các đại lượng khác 0 mà bình phương là 0 gần như là bánh mì hàng ngày đối với các nhà vật lý và các số có dạng a + bε, trong đó ε ≠ XNUMX, nhưng ε2 = 0, các nhà toán học gọi số lượng gấp đôi. Chúng xuất hiện trong phân tích toán học và hình học vi phân.
Rốt cuộc, có một cái gì đó trong số học có phép chia cho số XNUMX trong ít nhất là cái tên. Nó đến từ sự tương đồng. Gọi Z là tập hợp các số nguyên. Chia tập hợp Z cho p có nghĩa là chúng ta đánh đồng mỗi số (số nguyên) với một số số khác, cụ thể là những số mà hiệu của chúng chia hết. Vì vậy, khi chúng ta có năm loại số tương ứng với các số 0, 1, 2, 3, 4 - số dư có thể có khi chia cho 5. Công thức được viết như sau:
mod khi sự khác biệt là bội số.
Với = 2, chúng ta chỉ có hai số: 0 và 1. Chia số nguyên thành hai hạng tử như vậy tương đương với việc chia chúng thành chẵn và lẻ. Hãy thay thế nó ngay bây giờ. Hiệu luôn chia hết cho 1 (bất kỳ số nguyên nào cũng chia hết cho 1). Có thể lấy = 0 không? Hãy thử: khi nào thì hiệu của hai số là bội của XNUMX? Chỉ khi hai số này bằng nhau. Vì vậy, việc chia một tập hợp các số nguyên cho số XNUMX có ý nghĩa, nhưng nó không thú vị: không có gì xảy ra. Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng đây không phải là phép chia số theo nghĩa đã biết từ trường tiểu học.
Những hành động như vậy chỉ đơn giản là bị cấm, cũng như toán học dài và rộng.
Cơm. 2. Nhận dạng các số bằng cách so sánh
(chế độ 5 và chế độ 2)
