Hành trình vào thế giới không thực của toán học

Tôi đã viết bài báo này trong một trong những môi trường, sau một bài giảng và thực hành tại một trường đại học khoa học máy tính. Tôi tự bảo vệ mình trước những lời chỉ trích về học sinh của trường này, về kiến ​​thức, thái độ của họ đối với khoa học, và quan trọng nhất là: kỹ năng giảng dạy. Điều này ... không ai dạy họ.

Tại sao tôi lại phòng thủ như vậy? Vì một lý do đơn giản - tôi đang ở độ tuổi mà có lẽ thế giới xung quanh chúng ta vẫn chưa được hiểu rõ. Có lẽ tôi đang dạy họ khai thác và cởi ngựa, chứ không phải lái xe hơi? Không lẽ tôi dạy chúng viết bằng bút lông? Mặc dù tôi có quan điểm tốt hơn về một người, nhưng tôi coi mình là người “theo sau”, nhưng…

Cho đến gần đây, ở trường trung học, họ đã nói về số phức. Và chính vào thứ Tư này, tôi đã về nhà, nghỉ việc - hầu như không học sinh nào biết nó là gì và cách sử dụng những con số này. Một số xem toàn bộ toán học như một con ngỗng trước cửa sơn. Nhưng tôi cũng thực sự ngạc nhiên khi họ nói với tôi cách học. Nói một cách đơn giản, mỗi giờ nghe giảng là hai giờ làm bài tập về nhà: đọc sách giáo khoa, học cách giải quyết các vấn đề về một chủ đề nhất định, v.v. Sau khi chuẩn bị theo cách này, chúng tôi đến với các bài tập, nơi chúng tôi cải thiện mọi thứ ... Thật tuyệt, các sinh viên dường như nghĩ rằng việc ngồi nghe bài giảng - thường nhìn ra cửa sổ nhất - đã đảm bảo kiến ​​​​thức được đưa vào đầu.

Ngừng lại! Đủ rồi đấy. Tôi sẽ mô tả câu trả lời của mình cho một câu hỏi mà tôi nhận được trong một lớp học với các nghiên cứu sinh từ Quỹ Nhi đồng Quốc gia, một tổ chức hỗ trợ trẻ em tài năng trên khắp đất nước. Câu hỏi (hay đúng hơn là gợi ý) là:

- Bạn có thể cho chúng tôi biết điều gì đó về những con số không có thực?

“Tất nhiên,” tôi trả lời. 

Thực tế của những con số

Pythagoras nói: “Một người bạn là một người khác của tôi, tình bạn là tỷ lệ của số 220 và 284. Vấn đề ở đây là tổng các ước của số 220 là 284 và tổng các ước của số 284 là 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Một sự trùng hợp thú vị khác giữa các số 220 và 284 là: mười bảy số nguyên tố cao nhất là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, và 59.

Tổng của chúng là 2x220 và tổng của các hình vuông là 59x284.

Đầu tiên. Không có khái niệm "số thực". Nó giống như sau khi đọc một bài viết về voi, bạn hỏi, "Bây giờ chúng ta sẽ hỏi những con không phải là voi." Có toàn bộ và không toàn bộ, hợp lý và không hợp lý, nhưng không có thực tế. Đặc biệt: các số không có thực không được gọi là không hợp lệ. Có nhiều loại "số" trong toán học, và chúng khác nhau, giống như - để so sánh động vật học - một con voi và một con giun đất.

Thứ hai, chúng ta sẽ thực hiện các thao tác mà bạn có thể đã biết là bị cấm: trích căn bậc hai của các số âm. Vâng, toán học sẽ vượt qua những rào cản như vậy. Liệu nó có ý nghĩa mặc dù? Trong toán học, cũng như trong bất kỳ ngành khoa học nào khác, việc một lý thuyết có đi mãi mãi vào kho tri thức hay không phụ thuộc... vào ứng dụng của nó. Nếu nó vô dụng, thì nó sẽ kết thúc trong thùng rác, sau đó là một đống rác rưởi của lịch sử tri thức. Không có những con số mà tôi nói đến ở cuối bài viết này, thì không thể phát triển toán học. Nhưng hãy bắt đầu với một số điều nhỏ. Số thực là gì, bạn biết đấy. Chúng lấp đầy dãy số một cách dày đặc và không có khoảng trống. Bạn cũng biết số tự nhiên là gì: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - tất cả chúng sẽ không vừa bộ nhớ thậm chí lớn nhất. Họ cũng có một cái tên đẹp: tự nhiên. Họ có rất nhiều tài sản thú vị. Làm thế nào để bạn thích điều này:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

Karl Lindenholm nói: “Việc quan tâm đến các số tự nhiên là điều tự nhiên, và Leopold Kronecker (1823–1891) nói một cách ngắn gọn:“ Chúa tạo ra các số tự nhiên — mọi thứ khác đều là công việc của con người! ” Phân số (được các nhà toán học gọi là số hữu tỉ) cũng có những tính chất đáng kinh ngạc:

và bình đẳng:

bạn có thể, bắt đầu từ phía bên trái, xoa các điểm cộng và thay thế chúng bằng các dấu nhân - và sự bình đẳng sẽ vẫn đúng:

Và như vậy.

Như bạn đã biết, đối với phân số a / b, trong đó a và b là các số nguyên và b ≠ 0, chúng nói Số hữu tỉ. Nhưng chỉ trong tiếng Ba Lan họ mới tự gọi mình như vậy. Họ nói tiếng Anh, Pháp, Đức và Nga. Số hữu tỉ. Trong tiếng Anh: số hữu tỉ. Số vô tỉ nó phi lý, phi lý. Chúng tôi cũng nói tiếng Ba Lan về các lý thuyết, ý tưởng và hành động phi lý - đây là sự điên rồ, tưởng tượng, không thể giải thích được. Người ta nói rằng phụ nữ sợ chuột - điều đó không phi lý lắm sao?

Trong thời cổ đại, những con số có linh hồn. Mỗi cái có nghĩa là một cái gì đó, mỗi cái tượng trưng cho một cái gì đó, mỗi cái phản ánh một hạt của sự hài hòa đó của Vũ trụ, tức là Vũ trụ trong tiếng Hy Lạp. Chính từ "cosmos" có nghĩa chính xác là "trật tự, sắp xếp". Quan trọng nhất là sáu (số hoàn hảo) và mười, tổng của các số liên tiếp 1 + 2 + 3 + 4, được tạo thành từ các số khác, biểu tượng của số đó vẫn tồn tại cho đến ngày nay. Vì vậy, Pythagoras đã dạy rằng các con số là khởi đầu và nguồn gốc của mọi thứ, và chỉ là khám phá số vô tỉ đã biến phong trào Pitago theo hướng hình học. Chúng tôi biết lý do từ trường học rằng

√2 là một số vô tỉ

Giả sử rằng có: và không thể rút gọn phân số này. Đặc biệt, cả p và q đều là số lẻ. Hãy bình phương: 2q²=p². Số p không thể là số lẻ, do đó p² cũng sẽ là, và vế trái của đẳng thức là bội số của 2. Do đó, p chẵn, tức là p = 2r, do đó p²= 4r². Ta rút gọn phương trình 2q²= 4r² bằng 2. Chúng tôi nhận được q²= 2r² và chúng tôi thấy rằng q cũng phải là số chẵn, điều mà chúng tôi giả định là không phải như vậy. Kết quả mâu thuẫn hoàn thành bằng chứng - công thức này thường có thể được tìm thấy trong mọi cuốn sách toán học. Chứng minh tình huống này là thủ thuật yêu thích của những kẻ ngụy biện.

Người Pythagore không thể hiểu được sự rộng lớn này. Mọi thứ phải có thể được mô tả bằng các con số, và đường chéo của một hình vuông, mà bất kỳ ai cũng có thể vẽ bằng que trên cát, không có, nghĩa là, có thể đo được, chiều dài. “Niềm tin của chúng tôi đã vô ích,” những người theo thuyết Pitago dường như nói. Làm thế nào như vậy? Nó hơi ... phi lý. Liên minh đã cố gắng tự cứu mình bằng các phương pháp bè phái. Bất cứ ai dám tiết lộ sự tồn tại của họ số vô tỉ, đã bị trừng phạt bằng cái chết, và, rõ ràng, bản án đầu tiên được thực hiện bởi chính chủ nhân.

Nhưng "ý nghĩ đó đã trôi qua vô sự." Thời kỳ hoàng kim đã đến. Người Hy Lạp đã đánh bại quân Ba Tư (Marathon 490, Khối 479). Nền dân chủ được củng cố, các trung tâm tư tưởng triết học mới và các trường phái mới ra đời. Người Pythagore vẫn đang vật lộn với những con số vô tỉ. Một số giảng: chúng ta sẽ không hiểu được điều bí ẩn này; chúng ta chỉ có thể chiêm ngưỡng và ngạc nhiên trước Uncharted. Những người sau này thực dụng hơn và không tôn trọng Bí ẩn. Vào thời điểm đó, hai cấu trúc tính nhẩm xuất hiện giúp chúng ta có thể hiểu được số vô tỉ. Thực tế là chúng ta đã hiểu rõ về chúng ngày nay thuộc về Eudoxus (thế kỷ thứ XNUMX trước Công nguyên), và chỉ vào cuối thế kỷ XNUMX, nhà toán học người Đức Richard Dedekind đã đưa ra lý thuyết về Eudoxus phát triển phù hợp với các yêu cầu khắt khe. lôgic toán học.

Hàng loạt các nhân vật hoặc tra tấn

Bạn có thể sống mà không có số? Ngay cả khi cuộc sống sẽ ra sao... Chúng tôi sẽ phải đến cửa hàng để mua giày bằng một chiếc que mà trước đây chúng tôi đã đo chiều dài của bàn chân. “Tôi muốn táo, à, đây này!” – chúng tôi sẽ hiển thị người bán trên thị trường. "Từ Modlin đến Nowy Dwur Mazowiecki bao xa"? “Khá gần!”

Con số được sử dụng để đo lường. Với sự giúp đỡ của họ, chúng tôi cũng thể hiện nhiều khái niệm khác. Chẳng hạn, tỉ lệ bản đồ cho biết diện tích đất nước đã giảm đi bao nhiêu phần trăm. Tỷ lệ hai đối một, hoặc đơn giản là 2, thể hiện thực tế là một thứ gì đó đã được nhân đôi kích thước. Giả sử về mặt toán học: mỗi tính đồng nhất tương ứng với một số - tỷ lệ của nó.

Nhiệm vụ. Chúng tôi đã tạo một bản sao xerographic, phóng đại hình ảnh nhiều lần. Sau đó, đoạn phóng to lại được phóng to lên gấp đôi. Thang độ phóng đại chung là gì? Đáp số: a × b nhân với b. Những quy mô này cần được nhân lên. Số "trừ một", -1, tương ứng với một độ chính xác được căn giữa, tức là xoay 180 độ. Con số nào tương ứng với một góc quay 90 độ? Không có con số như vậy. Nó là, nó là… hay đúng hơn, nó sẽ sớm thôi. Bạn đã sẵn sàng cho sự tra tấn đạo đức? Hãy can đảm và lấy căn bậc hai của trừ một. Tôi đang nghe? Những gì bạn không thể? Sau tất cả, tôi đã bảo bạn phải dũng cảm. Kéo nó ra! Này, kéo, kéo ... Tôi sẽ giúp ... Đây: -1 Bây giờ chúng ta đã có nó, chúng ta hãy thử sử dụng nó ... Tất nhiên, bây giờ chúng ta có thể trích xuất gốc của tất cả các số âm, cho ví dụ.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

“Bất chấp nỗi thống khổ về tinh thần mà nó kéo theo.” Đây là những gì Girolamo Cardano đã viết vào năm 1539, cố gắng vượt qua những khó khăn về tinh thần liên quan đến - vì nó sớm được gọi là - đại lượng tưởng tượng. Anh ấy coi những ...

...Nhiệm vụ. Chia 10 thành hai phần, tích của nó là 40. Tôi nhớ rằng từ tập trước, anh ấy đã viết một cái gì đó như thế này: Chắc chắn là không thể. Tuy nhiên, hãy làm điều này: chia 10 thành hai phần bằng nhau, mỗi phần bằng 5. Nhân chúng lên - ta được 25. Từ kết quả là 25, bây giờ trừ 40, nếu bạn muốn, và bạn nhận được -15. Bây giờ hãy xem: √-15 được cộng và trừ từ 5 sẽ cho bạn tích là 40. Đây là các số 5-√-15 và 5 + √-15. Việc xác minh kết quả được Cardano thực hiện như sau:

“Bất kể nỗi đau mà nó kéo theo là gì, hãy nhân 5 + √-15 với 5-√-15. Ta được 25 - (-15), bằng 25 + 15. Vậy tích là 40 .... Nó thực sự khó khăn."

Vậy thì: (1 + √-1) (1-√-1) là bao nhiêu? Hãy nhân lên. Hãy nhớ rằng √-1 × √-1 = -1. Tuyệt quá. Bây giờ một nhiệm vụ khó khăn hơn: từ a + b√-1 đến ab√-1. Chuyện gì đã xảy ra thế? Chắc chắn, như thế này: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Có gì thú vị về điều này? Ví dụ, thực tế là chúng ta có thể phân tích các biểu thức mà chúng ta "không biết trước đây". Công thức nhân viết tắt của²-b² Bạn có nhớ công thức cho²+b² nó không phải, bởi vì nó không thể được. Trong miền số thực, đa thức²+b² nó là không thể tránh khỏi. Hãy biểu thị căn bậc hai của "trừ một" bằng chữ i.²= -1. Đó là một số nguyên tố "không có thật". Và đó là những gì mô tả sự quay đầu 90 độ của một chiếc máy bay. Tại sao? Rốt cuộc,²= -1 và kết hợp một góc quay 90 độ với một góc quay 180 độ khác sẽ tạo ra một góc quay 45 độ. Loại xoay nào đang được mô tả? Rõ ràng là quay XNUMX độ. -i có nghĩa là gì? Nó phức tạp hơn một chút:

(-TÔI)² = -i × (-i) = + i² = -1

Vì vậy -i cũng mô tả một chuyển động quay 90 độ, chỉ theo hướng ngược lại với chiều quay của i. Cái nào bên trái và cái nào bên phải? Bạn phải đặt một cuộc hẹn. Chúng ta giả sử rằng số i xác định một chuyển động quay theo hướng mà các nhà toán học coi là dương: ngược chiều kim đồng hồ. Số -i mô tả sự quay theo hướng mà các con trỏ đang di chuyển.

Nhưng những số như i và -i có tồn tại không? Là! Chúng tôi chỉ đưa chúng vào cuộc sống. Tôi đang nghe? Rằng chúng chỉ tồn tại trong đầu của chúng ta? Vâng, những gì mong đợi? Tất cả những con số khác cũng chỉ tồn tại trong tâm trí của chúng ta. Chúng tôi cần xem số lượng trẻ sơ sinh của chúng tôi có sống sót hay không. Chính xác hơn, liệu thiết kế có logic hay không và liệu chúng có hữu ích cho một việc gì đó hay không. Xin hãy tin lời tôi rằng mọi thứ đều theo thứ tự và những con số mới này thực sự hữu ích. Các số như 3 + i, 5-7i, tổng quát hơn: a + bi được gọi là số phức. Tôi đã chỉ cho bạn cách bạn có thể lấy chúng bằng cách quay máy bay. Chúng có thể được nhập theo nhiều cách khác nhau: dưới dạng điểm trong mặt phẳng, dưới dạng một số đa thức, dưới dạng một số loại mảng số ... và mỗi lần chúng giống nhau: phương trình x² + 1 = 0 không có phần tử ... hocus pocus đã có rồi !!!! Hãy vui mừng và hân hoan !!!

Kết thúc chuyến tham quan

Điều này kết thúc chuyến tham quan đầu tiên của chúng tôi đến đất nước của những con số giả. Trong số các số khác, tôi cũng sẽ đề cập đến những số có vô số chữ số phía trước và không phía sau (chúng được gọi là 10-adic, đối với chúng tôi p-adic quan trọng hơn, trong đó p là số nguyên tố), ví dụ X =……… 96109004106619977392256259918212890625

Hãy đếm X nhé². Như? Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta tính bình phương của một số theo sau bởi một số vô hạn chữ số? Vâng, chúng ta hãy làm như vậy. Chúng tôi biết rằng x² = H.

Hãy tìm một số khác như vậy với vô số chữ số ở phía trước thỏa mãn phương trình. Gợi ý: bình phương của một số kết thúc bằng sáu cũng kết thúc bằng sáu. Bình phương của một số kết thúc bằng 76 cũng kết thúc bằng 76. Bình phương của một số có kết thúc bằng 376 cũng kết thúc bằng 376. Bình phương của một số có kết thúc bằng 9376 cũng kết thúc bằng 9376. Bình phương của một số có kết thúc bằng XNUMX trên… Cũng có những số nhỏ đến nỗi, là số dương, chúng vẫn nhỏ hơn bất kỳ số dương nào khác. Chúng rất nhỏ nên đôi khi chỉ cần xếp chúng thành số XNUMX là đủ. Có các số không thỏa mãn điều kiện a × b = b × a. Cũng có vô số. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên? Nhiều vô hạn? Có, nhưng bao nhiêu? Làm thế nào điều này có thể được biểu thị dưới dạng một con số? Trả lời: số nhỏ nhất trong các số vô hạn; nó được đánh dấu bằng một chữ cái đẹp: A và được bổ sung bằng một chỉ số không A₀ , aleph-zero.

Cũng có những con số mà chúng ta không biết là tồn tại ... hoặc bạn có thể tin hoặc không tin tùy ý. Và nói về những điều tương tự: Tôi hy vọng bạn vẫn thích Con số không có thực, Con số loài giả tưởng.