Hình vuông màu và nhật thực
Bài báo mô tả các lớp học của tôi dành cho học sinh cấp hai - những người nhận học bổng của Quỹ Nhi đồng Quốc gia. Quỹ tìm kiếm những trẻ em và thanh thiếu niên có năng khiếu đặc biệt (từ lớp XNUMX của trường tiểu học đến trung học) và cung cấp "học bổng" cho những học sinh được chọn. Tuy nhiên, chúng hoàn toàn không bao gồm việc rút tiền mặt, mà là sự chăm sóc toàn diện cho sự phát triển tài năng, theo quy luật, trong nhiều năm. Không giống như nhiều dự án khác thuộc loại này, các nhà khoa học nổi tiếng, nhân vật văn hóa, nhà nhân văn lỗi lạc và những người thông thái khác, cũng như một số chính trị gia, rất coi trọng sự bảo trợ của Tổ chức.
Các hoạt động của Quỹ mở rộng đến tất cả các ngành học là môn học cơ bản của trường, ngoại trừ thể thao, bao gồm cả nghệ thuật. Quỹ được thành lập vào năm 1983 như một liều thuốc giải độc cho thực tế lúc bấy giờ. Bất cứ ai cũng có thể nộp đơn vào quỹ (thường là thông qua một trường học, tốt nhất là trước khi kết thúc năm học), nhưng tất nhiên, phải có một sàng lọc nhất định, một thủ tục trình độ nhất định.
Như tôi đã đề cập, bài báo dựa trên các lớp học chính của tôi, cụ thể là ở Gdynia, vào tháng 2016 năm 24, tại trường trung học cơ sở thứ 2008 tại trường trung học cấp III. Hải quân. Trong nhiều năm, những cuộc hội thảo này đã được tổ chức dưới sự bảo trợ của Tổ chức bởi Wojciech Thomalczyk, một giáo viên có sức thu hút phi thường và trình độ dân trí cao. Năm XNUMX, anh lọt vào top XNUMX ở Ba Lan, được trao tặng danh hiệu Giáo sư Sư phạm (theo quy định của pháp luật nhiều năm trước). Có một chút cường điệu trong tuyên bố: “Giáo dục là trục của thế giới”.
và mặt trăng luôn hấp dẫn - khi đó bạn có thể cảm thấy rằng chúng ta đang sống trên một hành tinh nhỏ bé trong một không gian rộng lớn, nơi mọi thứ đang chuyển động, được đo bằng centimet và giây. Nó thậm chí còn làm tôi sợ một chút, cũng như quan điểm về thời gian. Chúng ta biết rằng lần nguyệt thực toàn phần tiếp theo, có thể nhìn thấy từ khu vực Warsaw ngày nay, sẽ diễn ra vào ... năm 2681. Tôi tự hỏi ai sẽ nhìn thấy nó? Kích thước biểu kiến của Mặt trời và Mặt trăng trên bầu trời của chúng ta gần như giống nhau - đó là lý do tại sao nguyệt thực lại ngắn và rất ngoạn mục. Trong nhiều thế kỷ, những phút ngắn ngủi đó là đủ để các nhà thiên văn nhìn thấy vành nhật hoa. Thật kỳ lạ khi chúng xảy ra hai lần một năm... nhưng điều đó chỉ có nghĩa là ở đâu đó trên Trái đất, chúng có thể được nhìn thấy trong một khoảng thời gian ngắn. Do các chuyển động của thủy triều, Mặt trăng đang rời xa Trái đất - trong 260 triệu năm nữa, nó sẽ ở rất xa mà chúng ta (chúng ta???) sẽ chỉ nhìn thấy nhật thực hình khuyên.
Rõ ràng là người đầu tiên dự đoán nhật thực, là Thales của Miletus (28-585 thế kỷ trước Công nguyên). Chúng ta có thể sẽ không biết liệu nó có thực sự xảy ra hay không, tức là liệu ông ấy có dự đoán nó hay không, bởi vì thực tế là nguyệt thực ở Tiểu Á xảy ra vào tháng 567 năm 566, XNUMX trước Công nguyên là một sự thật đã được các tính toán hiện đại xác nhận. Tất nhiên, tôi trích dẫn dữ liệu cho tài khoản thời gian ngày nay. Khi tôi còn là một đứa trẻ, tôi đã tưởng tượng cách mọi người đếm năm. Vì vậy, đây là, ví dụ, XNUMX trước Công nguyên, đêm giao thừa sắp đến và mọi người đang vui mừng: chỉ XNUMX năm trước Công nguyên! Chắc hẳn họ đã phải hạnh phúc biết bao khi “thời đại của chúng ta” cuối cùng cũng đến! Thật là một bước ngoặt của hàng thiên niên kỷ mà chúng ta đã trải qua vài năm trước!
Toán tính toán ngày và phạm vi nhật thực, không phải là đặc biệt phức tạp, nhưng được nhồi nhét với tất cả các loại yếu tố liên quan đến sự đều đặn và thậm chí tệ hơn, với chuyển động không đều của cơ thể theo quỹ đạo. Tôi thậm chí muốn biết toán học này. Làm thế nào Thales of Miletus có thể thực hiện các tính toán cần thiết? Đáp án đơn giản. Bạn phải có một bản đồ bầu trời. Làm thế nào để tạo một bản đồ như vậy? Điều này cũng không khó, người Ai Cập cổ đại đã biết cách làm. Vào lúc nửa đêm, hai linh mục đi ra trên mái của ngôi đền. Mỗi người trong số họ ngồi xuống và vẽ những gì mình nhìn thấy (giống như đồng nghiệp của mình). Sau hai nghìn năm, chúng ta biết mọi thứ về chuyển động của các hành tinh ...
Hình học đẹp hoặc vui nhộn trên "tấm thảm"
Người Hy Lạp không thích những con số, họ sử dụng hình học. Đây là những gì chúng tôi sẽ làm. Của chúng ta nhật thực chúng sẽ đơn giản, đầy màu sắc, nhưng cũng thú vị và giống thật. Chúng tôi chấp nhận quy ước rằng hình màu xanh di chuyển theo cách làm lu mờ hình màu đỏ. Hãy gọi hình màu xanh là mặt trăng, và hình màu đỏ là mặt trời. Chúng tôi tự hỏi mình những câu hỏi sau:
- nhật thực kéo dài bao lâu;
- khi một nửa mục tiêu được che phủ;
Cơm. 1 "Tấm thảm" nhiều màu với mặt trời và mặt trăng
- phạm vi bảo hiểm tối đa là bao nhiêu;
- có thể phân tích sự phụ thuộc của độ che chắn vào thời gian không? Trong bài viết này (tôi bị giới hạn bởi số lượng văn bản), tôi sẽ tập trung vào câu hỏi thứ hai. Đằng sau đây là một hình học đẹp, có lẽ không có phép tính nhàm chán. Hãy nhìn vào hình. 1. Có thể cho rằng nó sẽ gắn liền với ... nhật thực không?
Tôi phải thành thật nói rằng các nhiệm vụ mà tôi sẽ thảo luận sẽ được lựa chọn đặc biệt, phù hợp với kiến thức và kỹ năng của học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông. Nhưng chúng tôi đào tạo theo các nhiệm vụ như nhạc công chơi thang âm, và vận động viên thực hiện các bài tập phát triển chung. Ngoài ra, nó không chỉ là một tấm thảm đẹp (hình 1)?
Cơm. 2 Mặt Trăng "Xanh" và Mặt Trời "Đỏ"
Các thiên thể của chúng ta, ít nhất là ban đầu, sẽ là những hình vuông có màu. Mặt trăng màu xanh, mặt trời màu đỏ (tốt nhất để tô màu). với hiện tại nhật thực Mặt trăng đuổi theo mặt trời trên bầu trời, đuổi kịp ... và đóng lại. Nó cũng sẽ như vậy với chúng tôi. Trường hợp đơn giản nhất, khi Mặt trăng di chuyển so với Mặt trời, như trong Hình. 2. Nhật thực bắt đầu khi mép đĩa của Mặt trăng chạm vào mép đĩa của Mặt trời (Hình 2) và kết thúc khi nó vượt ra ngoài nó.
Cơm. 3 Mặt trăng tiếp cận mặt trời theo đường chéo
Chúng tôi giả định rằng "Mặt trăng" di chuyển một ô trên một đơn vị thời gian, chẳng hạn, mỗi phút. Nhật thực sau đó kéo dài tám đơn vị thời gian, giả sử là vài phút. Một nửa nhật thực mờ hoàn toàn Nửa mặt số được đóng hai lần: sau 2 phút và 6 phút. Biểu đồ phần trăm che khuất rất đơn giản. Trong hai phút đầu, tấm chắn đóng đều với tốc độ từ 1 đến XNUMX, hai phút tiếp theo nó được mở ra với tốc độ tương tự.
Đây là một ví dụ thú vị hơn (Hình 3). Mặt trăng tiếp cận mặt trời theo đường chéo. Theo thỏa thuận thanh toán mỗi phút của chúng tôi, nhật thực kéo dài 8√2 phút - ở giữa thời gian này, chúng ta có nhật thực toàn phần. Hãy tính phần nào của mặt trời bị che sau thời gian t (Hình 3). Nếu t phút đã trôi qua kể từ khi bắt đầu nguyệt thực, và kết quả là Mặt trăng có hình dạng như trong Hình. 5, sau đó (chú ý!) Do đó, nó bị che phủ (diện tích của hình vuông APQR), bằng một nửa đĩa mặt trời; do đó, nó bị che phủ khi, tức là. sau 4 phút (sau đó 4 phút trước khi nguyệt thực kết thúc).
Cơm. 4 Đồ thị của chức năng "tô bóng"
Tổng cộng kéo dài một khoảnh khắc (t = 4√2), và đồ thị của hàm "phần bóng mờ" bao gồm hai cung parabol (Hình 4).
Mặt trăng xanh của chúng ta sẽ chạm vào góc với mặt trời đỏ, nhưng nó sẽ che nó, không theo đường chéo mà là hơi chéo. Hình học thú vị xuất hiện khi chúng ta phức tạp hóa chuyển động một chút (Hình 6). Hướng của chuyển động bây giờ là vectơ [4,3], nghĩa là, "bốn ô bên phải, ba ô lên". Vị trí của Mặt trời sao cho nhật thực bắt đầu (vị trí A) khi các mặt của "thiên thể" hội tụ đến một phần tư chiều dài của chúng. Khi Mặt Trăng di chuyển đến vị trí B, nó sẽ làm nguyệt thực XNUMX/XNUMX Mặt Trời, và ở vị trí C nó sẽ làm nguyệt thực một nửa. Ở vị trí D, chúng ta có nhật thực toàn phần, và sau đó mọi thứ trở lại "như ban đầu".
Cơm. 5 Phần của Mặt trời bị che khuất trong thời gian t
Nguyệt thực kết thúc khi Mặt trăng ở vị trí G. Nó kéo dài chừng nào chiều dài đoạn AG. Nếu như trước đây, chúng ta lấy làm đơn vị đo thời gian Mặt Trăng đi qua "một hình vuông", thì độ dài của AG bằng. Nếu chúng ta quay lại quy ước cũ rằng các thiên thể của chúng ta là 4 x 4, kết quả sẽ khác (cái gì?). Vì nó dễ dàng hiển thị, mục tiêu sẽ đóng sau t <15. Biểu đồ của hàm "phần trăm độ phủ màn hình" có thể được nhìn thấy trong hình. 6.
Cơm. 6 Đồ thị của chức năng "bảo vệ phần trăm"
Nhật thực và phương trình bước nhảy
Cơm. 7 Sự cản trở của đĩa mặt trời trong thời gian diễn ra nhật thực được trình bày trong hình. 6
Vấn đề về nguyệt thực sẽ không đầy đủ nếu chúng ta không xem xét trường hợp của các vòng tròn. Điều này phức tạp hơn nhiều, nhưng chúng ta hãy thử tìm hiểu khi nào một vòng tròn che khuất một nửa vòng tròn kia - và trong trường hợp đơn giản nhất, khi một trong số chúng di chuyển dọc theo đường kính nối cả hai. Hình vẽ quen thuộc với chủ nhân của một số thẻ tín dụng.
Việc tính toán vị trí của các trường rất phức tạp, vì trước hết nó đòi hỏi kiến thức về công thức tính diện tích của một đoạn tròn, thứ hai, kiến thức về cung của góc và thứ ba (và tệ nhất là), khả năng để giải một phương trình bước nhảy nào đó. Tôi sẽ không giải thích "phương trình bắc cầu" là gì, hãy xem một ví dụ (Hình 8).
Cơm. 8 nguyệt thực "hình cầu"
Phần hình tròn là phần "bát" còn lại sau khi cắt một đường tròn bằng một đường thẳng. Diện tích của một đoạn như vậy là S = 1 / 2r2(φ-sinφ), trong đó r là bán kính của đường tròn và φ là góc ở giữa mà đoạn nằm trên (Hình 8). Dễ dàng có được điều này bằng cách lấy diện tích hình tròn trừ đi diện tích hình tam giác.
Tập O1O2 (khoảng cách giữa các tâm của các vòng tròn) khi đó bằng 2rcosφ / 2 và chiều cao (chiều rộng, “vòng eo”) h = 2rsinφ / 2. Vì vậy, nếu chúng ta muốn tính thời điểm Mặt trăng sẽ che một nửa đĩa Mặt trời, chúng ta cần giải phương trình: sau khi đơn giản hóa, chúng ta sẽ trở thành:
Cơm. 9 Đồ thị của hai hàm số
Nghiệm của những phương trình như vậy nằm ngoài phạm vi của đại số đơn giản - phương trình chứa cả góc và hàm lượng giác của chúng. Phương trình nằm ngoài tầm với của các phương pháp truyền thống. Đó là lý do tại sao nó được gọi là nhảy. Đầu tiên chúng ta hãy nhìn vào đồ thị của cả hai hàm, tức là hàm số và hàm số. Chúng ta có thể đọc một giải pháp gần đúng từ hình này. Tuy nhiên, chúng ta có thể nhận được một ước lượng lặp lại hoặc… sử dụng tùy chọn Solver trong bảng tính Excel. Mọi học sinh trung học đều có thể làm điều này, bởi vì đó là thế kỷ 20. Tôi đã sử dụng một công cụ Mathematica phức tạp hơn và đây là giải pháp của chúng tôi với các chữ số thập phân XNUMX có độ chính xác không cần thiết:
SetPre precision [FindRoot [x == Sin [x] + Pi / 2, {x, 2}], 20] {x⇒2.3098814600100574523}.
Cơm. 10 Hình ảnh động về nhật thực trong matematica
Chúng tôi biến điều này thành độ bằng cách nhân với 180 / π. Chúng tôi nhận được 132 độ, 20 phút, 45 và một phần tư vòng cung giây. Ta tính được khoảng cách đến tâm của đường tròn là O1O2 = Bán kính 0,808 và "eo" 2,310.
