Đường dẫn và bụi cây hình học

Trong khi viết bài này, tôi nhớ đến một bài hát rất cũ của Jan Pietrzak, mà anh đã hát trước hoạt động châm biếm của mình trong quán rượu Pod Egidą, được công nhận ở Cộng hòa Nhân dân Ba Lan như một van an toàn; người ta có thể thành thật cười nhạo những nghịch lý của hệ thống. Trong bài hát này, tác giả khuyến khích sự tham gia chính trị xã hội chủ nghĩa, chế giễu những kẻ muốn phi chính trị và tắt đài trên báo. “Tốt hơn hết là nên quay lại trường học để đọc sách,” Petshak lúc đó ở XNUMX đã hát một cách mỉa mai.

Tôi sẽ trở lại trường đọc sách. Tôi đang đọc lại (không phải lần đầu) cuốn sách “Lylavati” của Shchepan Yelensky (1881-1949). Đối với một số độc giả, bản thân từ này đã nói lên điều gì đó. Đây là tên con gái của nhà toán học nổi tiếng người Hindu được biết đến là Bhaskara (1114-1185), tên là Akaria, hay nhà hiền triết đã đặt tên cho cuốn sách về đại số của mình với cái tên đó. Lilavati sau này trở thành một nhà toán học và triết học nổi tiếng. Theo các nguồn tin khác, chính cô ấy đã tự viết cuốn sách.

Szczepan Yelensky đã đặt tựa đề tương tự cho cuốn sách của ông về toán học (ấn bản đầu tiên, 1926). Thậm chí có thể khó gọi cuốn sách này là một tác phẩm toán học - nó giống một tập hợp các câu đố hơn, và phần lớn được viết lại từ các nguồn của Pháp (không tồn tại bản quyền theo nghĩa hiện đại). Trong mọi trường hợp, trong nhiều năm, nó là cuốn sách phổ biến duy nhất của Ba Lan về toán học - sau này cuốn sách thứ hai của Jelensky, Pythagore Sweets, đã được thêm vào đó. Vì vậy, những người trẻ tuổi quan tâm đến toán học (chính xác là những gì tôi đã từng là) không có gì để lựa chọn ...

mặt khác, "Lilavati" phải được biết gần như thuộc lòng... À, đã có lúc... Lợi thế lớn nhất của họ là tôi... khi đó còn là một thiếu niên. Hôm nay, từ quan điểm của một nhà toán học được giáo dục tốt, tôi nhìn Lilavati theo một cách hoàn toàn khác - có thể giống như một người leo núi trên những khúc cua của con đường đến Shpiglasova Pshelench. Cả cái này lẫn cái kia đều không mất đi sức hấp dẫn ... Theo phong cách đặc trưng của mình, Shchepan Yelensky, người tuyên bố cái gọi là ý tưởng quốc gia trong cuộc sống cá nhân của mình, ông viết trong lời nói đầu:

Nếu không đề cập đến việc mô tả các đặc điểm quốc gia, tôi sẽ nói rằng ngay cả sau chín mươi năm, những lời của Yelensky về toán học vẫn không mất đi sự phù hợp. Toán học dạy bạn suy nghĩ. Đó là một sự thật. Chúng tôi có thể dạy bạn suy nghĩ khác đi, đơn giản hơn và đẹp đẽ hơn không? Có lẽ. Chỉ là ... chúng ta vẫn không thể. Tôi giải thích với những học sinh không muốn làm toán rằng đây cũng là một bài kiểm tra trí thông minh của chúng. Nếu bạn không thể học lý thuyết toán học thực sự đơn giản, thì ... có lẽ khả năng trí tuệ của bạn kém hơn cả hai chúng ta muốn ...?

Dấu hiệu trên cát

Và đây là câu chuyện đầu tiên trong "Lylavati" - một câu chuyện được mô tả bởi nhà triết học người Pháp Joseph de Maistre (1753-1821).

Một thủy thủ từ một con tàu bị đắm đã bị sóng đánh văng vào một bờ biển trống trải mà anh ta coi là không có người ở. Đột nhiên, trên bãi cát ven biển, anh nhìn thấy một dấu vết của một hình học được vẽ trước mặt ai đó. Lúc đó anh mới nhận ra rằng hòn đảo này không hề hoang vắng!

Trích dẫn de Mestri, Yelensky viết: hình họcnó sẽ là một biểu hiện câm cho sự trùng hợp ngẫu nhiên, đắm tàu, không may, nhưng ông đã chỉ cho anh ta trong nháy mắt tỷ lệ và con số, và điều này báo trước một người đã giác ngộ. Quá nhiều cho lịch sử.

Lưu ý rằng một thủy thủ sẽ gây ra phản ứng tương tự, ví dụ, bằng cách vẽ chữ K, ... và bất kỳ dấu vết nào khác về sự hiện diện của một người. Ở đây hình học được lý tưởng hóa.

Tuy nhiên, nhà thiên văn học Camille Flammarion (1847-1925) đề xuất rằng các nền văn minh chào đón nhau từ khoảng cách xa bằng cách sử dụng hình học. Anh ta nhìn thấy ở đây là nỗ lực duy nhất có thể và đúng trong giao tiếp. Hãy cho những người sao Hỏa xem hình tam giác Pitago ... họ sẽ trả lời chúng ta bằng Thales, chúng ta sẽ trả lời họ bằng mẫu Vieta, hình tròn của họ sẽ vừa với hình tam giác, thế là một tình bạn đã bắt đầu ...

Các nhà văn như Jules Verne và Stanislav Lem đã quay trở lại ý tưởng này. Và vào năm 1972, những viên gạch có hoa văn hình học (và không chỉ) đã được đặt trên tàu thăm dò Pioneer, tàu vẫn vượt qua không gian mở rộng, hiện cách chúng ta gần 140 đơn vị thiên văn (I là khoảng cách trung bình của Trái đất từ ​​Trái đất) . CN, tức là khoảng 1 triệu km). Một phần, loại gạch này được thiết kế bởi nhà thiên văn học Frank Drake, người tạo ra quy luật gây tranh cãi về số lượng các nền văn minh ngoài Trái đất.

Hình học là tuyệt vời. Tất cả chúng ta đều biết quan điểm chung về nguồn gốc của khoa học này. Chúng ta (con người chúng ta) mới bắt đầu đo đất (và sau này là đất) cho những mục đích hữu ích nhất. Xác định khoảng cách, vẽ đoạn thẳng, đánh dấu góc vuông và tính toán khối lượng dần trở thành nhu cầu thiết yếu. Do đó toàn bộ điều hình học (“Đo lường trái đất”), do đó tất cả toán học ...

Tuy nhiên, trong một thời gian, bức tranh rõ ràng về lịch sử khoa học này đã che khuất chúng ta. Vì nếu toán học chỉ cần thiết cho các mục đích hoạt động, chúng tôi sẽ không tham gia vào việc chứng minh các định lý đơn giản. “Bạn thấy rằng điều này hoàn toàn đúng,” một người sẽ nói sau khi kiểm tra rằng trong một số tam giác vuông, tổng bình phương của cạnh huyền bằng bình phương cạnh huyền. Tại sao chủ nghĩa hình thức như vậy?

Bánh mận phải ngon, chương trình máy tính phải hoạt động, máy móc phải hoạt động. Nếu tôi đếm sức chứa của thùng ba mươi lần và mọi thứ đều theo thứ tự, thì tại sao lại khác?

Trong khi đó, người Hy Lạp cổ đại nhận ra rằng cần phải tìm thấy một số bằng chứng chính thức.

Vì vậy, toán học bắt đầu với Thales (625-547 TCN). Người ta cho rằng chính Miletus là người bắt đầu tự hỏi tại sao. Đối với những người thông minh, họ đã nhìn thấy điều gì đó là chưa đủ, rằng họ bị thuyết phục về điều gì đó. Họ thấy sự cần thiết phải chứng minh, một chuỗi lập luận logic từ giả định đến luận điểm.

Họ cũng muốn nhiều hơn nữa. Có lẽ Thales là người đầu tiên cố gắng giải thích các hiện tượng vật lý theo cách tự nhiên, không có sự can thiệp của thần thánh. Triết học châu Âu bắt đầu với triết học về tự nhiên - với những gì đã có sau vật lý (do đó có tên: siêu hình học). Nhưng nền tảng của bản thể học châu Âu và triết học tự nhiên đã được đặt ra bởi những người Pythagore (Pythagoras, khoảng 580-500 TCN).

Ông thành lập trường học của riêng mình ở Crotone ở phía nam bán đảo Apennine - ngày nay chúng ta gọi nó là một giáo phái. Khoa học (theo nghĩa hiện tại của từ này), thần bí, tôn giáo và tưởng tượng đều gắn bó chặt chẽ với nhau. Thomas Mann đã trình bày rất đẹp các bài học toán học trong một phòng tập thể dục ở Đức trong cuốn tiểu thuyết Bác sĩ Faustus. Được dịch bởi Maria Kuretskaya và Witold Virpsha, đoạn này có nội dung:

Trong cuốn sách thú vị của Charles van Doren, Lịch sử của tri thức từ buổi bình minh của lịch sử đến ngày nay, tôi đã tìm thấy một quan điểm rất thú vị. Trong một trong những chương, tác giả mô tả tầm quan trọng của trường phái Pitago. Chính tiêu đề của chương đã làm tôi ấn tượng. Nó viết: "Phát minh của Toán học: Những người Pytago".

Chúng tôi thường thảo luận về việc các lý thuyết toán học đang được khám phá (ví dụ như những vùng đất chưa được biết đến) hay được phát minh (ví dụ như những cỗ máy không tồn tại trước đây). Một số nhà toán học sáng tạo coi mình là nhà nghiên cứu, những người khác là nhà phát minh hoặc nhà thiết kế, ít thường phản bác hơn.

Nhưng tác giả của cuốn sách này viết về sự phát minh ra toán học nói chung.

Từ cường điệu đến ảo tưởng

Sau phần giới thiệu dài này, tôi sẽ chuyển sang phần bắt đầu. hình họcđể mô tả việc phụ thuộc quá nhiều vào hình học có thể đánh lừa một nhà khoa học như thế nào. Johannes Kepler được biết đến trong vật lý và thiên văn học với tư cách là người phát hiện ra ba quy luật chuyển động của các thiên thể. Đầu tiên, mỗi hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động quanh mặt trời theo quỹ đạo hình elip, tại một trong những trọng tâm của nó là mặt trời. Thứ hai, trong những khoảng thời gian đều đặn, tia tiên đạo của hành tinh, được vẽ từ Mặt trời, vẽ các trường bằng nhau. Thứ ba, tỷ số bình phương của chu kỳ quay của một hành tinh quanh Mặt trời với hình lập phương của bán trục chính trên quỹ đạo của nó (tức là khoảng cách trung bình từ Mặt trời) là không đổi đối với tất cả các hành tinh trong hệ Mặt trời.

Có lẽ đây là định luật thứ ba - nó đòi hỏi rất nhiều dữ liệu và tính toán để thiết lập nó, điều này đã thúc đẩy Kepler tiếp tục tìm kiếm các mẫu chuyển động và vị trí của các hành tinh. Lịch sử về "khám phá" mới của anh ấy rất có tính hướng dẫn. Kể từ thời cổ đại, chúng ta không chỉ ngưỡng mộ các khối đa diện đều, mà còn cả các lập luận chỉ ra rằng chỉ có năm khối trong số chúng trong không gian. Một hình đa diện ba chiều được gọi là hình đều nếu các mặt của nó là các hình đa giác đều và mỗi đỉnh có cùng số cạnh. Một cách minh họa, mỗi góc của một khối đa diện đều phải "giống nhau". Hình đa diện nổi tiếng nhất là hình lập phương. Mọi người đều đã nhìn thấy một mắt cá chân bình thường.

Hình tứ diện đều ít được biết đến hơn, trong trường học người ta gọi nó là hình chóp tam giác đều. Nó trông giống như một kim tự tháp. Ba khối đa diện đều còn lại ít được biết đến hơn. Một khối bát diện được hình thành khi chúng ta nối các tâm của các cạnh của một khối lập phương. Khối mười hai mặt và khối icosahedron đã trông giống như những quả bóng. Được làm từ da mềm, chúng sẽ rất thoải mái khi vận động. Suy luận rằng không có hình đa diện đều nào khác ngoài năm chất rắn Platon là rất tốt. Đầu tiên, chúng ta nhận ra rằng nếu phần thân là hình đều, thì cùng một số (gọi là q) của các đa giác đều giống hệt nhau phải hội tụ tại mỗi đỉnh, gọi đây là các góc p. Bây giờ chúng ta cần nhớ góc trong một đa giác đều là gì. Nếu ai đó không nhớ từ trường, chúng tôi nhắc bạn cách tìm đúng mẫu. Chúng tôi đã đi một vòng quanh góc. Tại mỗi đỉnh ta quay qua cùng một góc a. Khi chúng ta đi xung quanh đa giác và quay trở lại điểm xuất phát, chúng ta đã thực hiện p lần lượt như vậy, và tổng cộng chúng ta đã quay được 360 độ.

Nhưng α là phần bù 180 độ của góc mà chúng ta muốn tính toán, và do đó

Chúng tôi đã tìm ra công thức cho góc (một nhà toán học sẽ nói: số đo của một góc) của một đa giác đều. Hãy kiểm tra: trong tam giác p = 3, không có a

Như thế này. Khi p = 4 (bình phương) thì

độ cũng tốt.

Chúng ta nhận được gì cho một hình ngũ giác? Vậy điều gì sẽ xảy ra khi có q đa giác, mỗi p có các góc như nhau

 độ giảm dần tại một đỉnh? Nếu nó nằm trên một mặt phẳng, thì một góc sẽ hình thành

độ và không thể lớn hơn 360 độ - vì khi đó các đa giác chồng lên nhau.

Tuy nhiên, vì các đa giác này gặp nhau trong không gian nên góc phải nhỏ hơn góc đầy đủ.

Và đây là sự bất bình đẳng mà tất cả đều theo sau:

Chia nó cho 180, nhân cả hai phần với p, thứ tự (p-2) (q-2) <4. Điều gì sau đây? Hãy lưu ý rằng p và q phải là các số tự nhiên và p> 2 (tại sao? Và p là gì?) Và q> 2. Không có nhiều cách để làm cho tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn 4. Chúng ta Sẽ liệt kê tất cả chúng trong bảng 1.

Tôi không đăng các bức vẽ, mọi người có thể thấy những hình vẽ này trên Internet… Trên Internet… Tôi sẽ không từ chối một sự lạc đề trữ tình – có lẽ nó sẽ thú vị đối với những độc giả trẻ tuổi. Năm 1970 tôi phát biểu tại một cuộc hội thảo. Chủ đề thật khó. Tôi có ít thời gian để chuẩn bị, tôi ngồi vào buổi tối. Bài viết chính là chỉ đọc tại chỗ. Nơi này ấm cúng, với một bầu không khí làm việc, tốt, nó đóng cửa lúc bảy giờ. Sau đó, chính cô dâu (nay là vợ tôi) đề nghị viết lại toàn bộ bài báo cho tôi: khoảng một chục trang in. Tôi đã sao chép nó (không, không phải bằng bút lông, chúng tôi thậm chí còn có bút mực), bài giảng đã thành công. Hôm nay tôi đã cố gắng tìm ấn phẩm này, nó đã cũ. Tôi chỉ nhớ tên của tác giả... Tìm kiếm trên Internet kéo dài rất lâu... đủ mười lăm phút. Tôi nghĩ về điều đó với một nụ cười nhếch mép và một chút tiếc nuối vô cớ.

Chúng tôi quay trở lại Kepler và hình học. Rõ ràng, Plato đã tiên đoán sự tồn tại của dạng chính quy thứ năm vì ông thiếu một thứ gì đó thống nhất, bao trùm toàn thế giới. Có lẽ vì vậy mà anh đã hướng dẫn một học sinh (Theajtet) đi tìm cô. Như nó đã được, vì vậy nó đã được, trên cơ sở mà khối mười hai được phát hiện. Chúng tôi gọi đây là thái độ của thuyết phiếm thần Plato. Tất cả các nhà khoa học, kể cả Newton, đều chịu thua nó ở mức độ lớn hơn hoặc thấp hơn. Kể từ thế kỷ thứ mười tám có tính duy lý cao, ảnh hưởng của nó đã giảm đi đáng kể, mặc dù chúng ta không nên xấu hổ về thực tế rằng tất cả chúng ta đều khuất phục nó theo cách này hay cách khác.

Trong khái niệm xây dựng hệ mặt trời của Kepler, mọi thứ đều đúng, số liệu thí nghiệm trùng khớp với lý thuyết, lý thuyết mạch lạc một cách logic, rất đẹp… nhưng hoàn toàn sai sự thật. Vào thời của ông, chỉ có sáu hành tinh được biết đến: Sao Thủy, Sao Kim, Trái Đất, Sao Hỏa, Sao Mộc và Sao Thổ. Tại sao chỉ có sáu hành tinh? Kepler hỏi. Và sự đều đặn nào xác định khoảng cách của chúng với Mặt trời? Anh ta cho rằng mọi thứ đều được kết nối với nhau, hình học và cosmogony có quan hệ mật thiết với nhau. Từ các tác phẩm của người Hy Lạp cổ đại, ông biết rằng chỉ có năm khối đa diện đều. Anh ta thấy rằng có năm khoảng trống giữa sáu quỹ đạo. Vì vậy, có thể mỗi trong số các không gian trống này tương ứng với một số hình đa diện đều?

Sau vài năm quan sát và nghiên cứu lý thuyết, ông đã tạo ra lý thuyết sau đây, với sự giúp đỡ của ông tính toán khá chính xác kích thước của các quỹ đạo, mà ông đã trình bày trong cuốn sách "Mysterium Cosmographicum", xuất bản năm 1596: Hãy tưởng tượng một quả cầu khổng lồ, đường kính đó là đường kính quỹ đạo của sao Thủy trong chuyển động hàng năm của nó quanh mặt trời. Sau đó, hãy tưởng tượng rằng trên mặt cầu này có một khối bát diện đều, trên đó là một khối cầu, trên đó là một khối icosahedron, trên nó lại là một khối cầu, trên đó là một khối tứ diện, trên nó một khối cầu khác, trên đó là một khối tứ diện, rồi lại là một khối cầu, một khối lập phương. và, cuối cùng, trên khối lập phương này, quả bóng được mô tả.

Kepler kết luận rằng đường kính của những quả cầu liên tiếp này là đường kính quỹ đạo của các hành tinh khác: Sao Thủy, Sao Kim, Trái Đất, Sao Hỏa, Sao Mộc và Sao Thổ. Lý thuyết dường như rất chính xác. Thật không may, điều này trùng khớp với dữ liệu thử nghiệm. Và bằng chứng nào tốt hơn về tính đúng đắn của một lý thuyết toán học hơn là sự tương ứng của nó với dữ liệu thực nghiệm hoặc dữ liệu quan sát, đặc biệt là "lấy từ thiên đường"? Tôi tóm tắt những tính toán này trong Bảng 2. Vậy Kepler đã làm gì? Tôi đã thử và thử cho đến khi thành công, tức là khi cấu hình (thứ tự của các quả cầu) và kết quả tính toán trùng khớp với dữ liệu quan sát được. Dưới đây là số liệu và tính toán của Kepler hiện đại:

Người ta có thể khuất phục trước sự mê hoặc của lý thuyết và tin rằng các phép đo trên bầu trời là không chính xác, và không phải các phép tính được thực hiện trong sự im lặng của xưởng. Thật không may, ngày nay chúng ta biết rằng có ít nhất chín hành tinh và tất cả các kết quả trùng hợp chỉ là một sự trùng hợp ngẫu nhiên. Một điều đáng tiếc. Nó rất đẹp ...