sự quyến rũ ngược

Có rất nhiều người nói về "sự quyến rũ của các mặt đối lập", và không chỉ trong toán học. Hãy nhớ rằng các số đối nhau là những số chỉ khác nhau về dấu: cộng 7 và trừ 7. Tổng các số đối nhau bằng không. Nhưng đối với chúng tôi (tức là các nhà toán học) thì nghịch đảo thú vị hơn. Nếu tích của các số bằng 1 thì các số này nghịch đảo với nhau. Mọi số đều có nghịch đảo của nó, mọi số khác XNUMX đều có nghịch đảo của nó. Đối ứng của đối ứng là hạt giống.

Sự nghịch đảo xảy ra khi hai đại lượng có quan hệ với nhau để nếu một đại lượng tăng thì đại lượng kia giảm với tốc độ tương ứng. "Có liên quan" có nghĩa là sản phẩm của những đại lượng này không thay đổi. Chúng tôi nhớ từ trường học: đây là một tỷ lệ nghịch. Nếu tôi muốn đến đích nhanh gấp đôi (tức là giảm một nửa thời gian), tôi cần phải tăng gấp đôi tốc độ của mình. Nếu giảm thể tích của một bình kín chứa khí đi n lần thì áp suất của nó tăng lên n lần.

Trong giáo dục tiểu học, chúng tôi cẩn thận phân biệt giữa so sánh khác biệt và so sánh tương đối. "Còn bao nhiêu nữa"? – “Mấy lần nữa?”

Dưới đây là một số hoạt động của trường:

Nhiệm vụ 1. Trong hai giá trị dương, giá trị thứ nhất lớn hơn giá trị thứ hai 5 lần và đồng thời lớn hơn giá trị thứ nhất 5 lần. kích thước là gì?

Nhiệm vụ 2. Nếu một số lớn hơn số thứ hai là 3 và số thứ hai lớn hơn số thứ ba là 2 thì số thứ nhất lớn hơn số thứ ba bao nhiêu? Nếu số dương thứ nhất gấp đôi số thứ hai và số thứ nhất gấp ba lần số thứ ba thì số thứ nhất lớn hơn số thứ ba bao nhiêu lần?

Nhiệm vụ 3. Trong nhiệm vụ 2, chỉ số tự nhiên mới được phép. Có thể sắp xếp như vậy như mô tả ở đó không?

Nhiệm vụ 4. Trong hai giá trị dương, giá trị thứ nhất gấp 5 lần giá trị thứ hai và giá trị thứ hai gấp 5 lần giá trị thứ nhất. Nó có khả thi không?

Khái niệm "trung bình" hay "trung bình" có vẻ rất đơn giản. Nếu tôi đạp xe 55 km vào thứ Hai, 45 km vào thứ Ba và 80 km vào thứ Tư, thì trung bình tôi đã đạp xe 60 km mỗi ngày. Chúng tôi hoàn toàn đồng ý với những tính toán này, mặc dù chúng hơi lạ vì tôi chưa lái được 60 km trong một ngày. Chúng tôi cũng dễ dàng chấp nhận những chia sẻ của một người: nếu hai trăm người ghé thăm một nhà hàng trong vòng sáu ngày, thì tỷ lệ trung bình hàng ngày là 33 và một người thứ ba. HM!

Chỉ có vấn đề với kích thước trung bình. Tôi thích đi xe đạp. Vì vậy, tôi đã tận dụng lời đề nghị của công ty du lịch "Hãy đi cùng chúng tôi" - họ giao hành lý đến khách sạn, nơi khách hàng đạp xe cho mục đích giải trí. Vào thứ Sáu, tôi đã lái xe trong bốn giờ: hai giờ đầu tiên với tốc độ 24 km một giờ. Sau đó, tôi mệt mỏi đến mức trong hai giờ tiếp theo với tốc độ chỉ 16 giờ mỗi giờ. Tốc độ trung bình của tôi là bao nhiêu? Tất nhiên là (24+16)/2=20km=20km/h.

Tuy nhiên, vào thứ bảy, hành lý được để ở khách sạn, và tôi đi xem tàn tích của lâu đài, cách đó 24 km, và nhìn thấy chúng, tôi quay trở lại. Tôi lái xe một giờ theo một hướng, về chậm hơn, với vận tốc 16 km một giờ. Tốc độ trung bình của tôi trên tuyến đường khách sạn-lâu đài-khách sạn là bao nhiêu? 20 km mỗi giờ? Dĩ nhiên là không. Sau cùng, tôi đã lái xe tổng cộng 48 km và tôi mất một giờ (“ở đó”) và một giờ rưỡi để quay lại. 48 km trong hai giờ rưỡi, tức là giờ 48 / 2,5 = 192/10 = 19,2 km! Trong tình huống này, tốc độ trung bình không phải là trung bình cộng, mà là điều hòa của các giá trị đã cho:

và công thức hai tầng này có thể được đọc như sau: trung bình điều hòa của các số dương là nghịch đảo của trung bình cộng của nghịch đảo của chúng. Số nghịch đảo của tổng số nghịch đảo xuất hiện trong nhiều điệp khúc của bài tập ở trường: nếu một công nhân đào theo giờ, người kia - b giờ, thì cùng làm việc, họ đào đúng giờ. hồ bơi nước (một cái mỗi giờ, cái kia vào b giờ). Nếu một điện trở có R1 và điện trở kia có R2 thì chúng có điện trở song song. 

Nếu một máy tính có thể giải quyết một vấn đề trong vài giây, một máy tính khác trong b giây, thì khi chúng làm việc cùng nhau ...

Ngừng lại! Đây là nơi mà phép loại suy kết thúc, bởi vì mọi thứ phụ thuộc vào tốc độ của mạng: hiệu quả của các kết nối. Người lao động cũng có thể cản trở hoặc giúp đỡ lẫn nhau. Nếu một người có thể đào giếng trong tám giờ, thì tám mươi công nhân có thể làm việc đó trong 1/10 của một giờ (hoặc 6 phút)? Nếu sáu người khuân vác đàn đưa đàn lên tầng một trong 6 phút thì một trong số họ đưa đàn lên tầng sáu mươi mất bao lâu? Sự phi lý của những vấn đề như vậy khiến người ta nhớ đến khả năng ứng dụng hạn chế của tất cả toán học đối với những vấn đề "từ cuộc sống".

Giới thiệu về một người bán quyền lực 

Cân không còn được sử dụng. Nhớ lại rằng một quả cân được đặt trên một bát của chiếc cân như vậy, và hàng hóa được cân được đặt lên bát kia, và khi quả cân ở trạng thái cân bằng thì hàng hóa nặng bằng quả cân. Tất nhiên, cả hai nhánh của tải trọng phải có cùng chiều dài, nếu không việc cân sẽ không chính xác.

Ô đúng rồi. Hãy tưởng tượng một nhân viên bán hàng có trọng lượng với đòn bẩy không bằng nhau. Tuy nhiên, anh muốn trung thực với khách hàng và cân hàng thành hai đợt. Đầu tiên, anh ta đặt một quả cân lên một cái chảo và trên một cái chảo khác một lượng hàng hóa tương ứng - sao cho cân cân bằng. Sau đó, anh ta cân "nửa" hàng hóa thứ hai theo thứ tự ngược lại, tức là anh ta đặt quả cân trên bát thứ hai, và hàng hóa trên bát thứ nhất. Vì hai bàn tay không bằng nhau nên các "nửa" không bao giờ bằng nhau. Và lương tâm của người bán rất rõ ràng, và người mua khen ngợi sự trung thực của anh ta: "Những gì tôi đã loại bỏ ở đây, sau đó tôi thêm vào."

Tuy nhiên, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn hành vi của một người bán muốn trung thực bất chấp trọng lượng bấp bênh. Cho các cánh tay cân có độ dài a và b. Nếu một trong hai bát được chất một khối lượng ki-lô-gam và bát kia chứa x hàng hóa thì cân ở trạng thái cân bằng nếu lần thứ nhất ax = b và bx = a lần thứ hai. Vậy, phần thứ nhất của hàng hóa bằng b/a kilôgam, phần thứ hai là a/b. Trọng lượng tốt có a = b nên người mua sẽ nhận được 2 kg hàng. Hãy xem điều gì xảy ra khi a ≠ b. Khi đó a – b ≠ 0 và từ công thức nhân rút gọn ta có

Chúng tôi đã đi đến một kết quả bất ngờ: phương pháp "lấy trung bình" đo lường có vẻ công bằng trong trường hợp này có lợi cho người mua, người nhận được nhiều hàng hơn.

Nhiệm vụ 5. (Quan trọng, không có nghĩa là trong toán học!). Một con muỗi nặng 2,5 miligam, và một con voi XNUMX tấn (đây là số liệu khá chính xác). Tính giá trị trung bình cộng, trung bình hình học và trung bình điều hòa của khối lượng (trọng lượng) muỗi và voi. Kiểm tra các phép tính và xem chúng có ý nghĩa gì không ngoài các bài tập số học. Hãy xem những ví dụ khác về phép tính toán học không có ý nghĩa trong "cuộc sống thực". Mẹo: Chúng tôi đã xem xét một ví dụ trong bài viết này. Điều này có nghĩa là một sinh viên ẩn danh mà tôi tìm thấy ý kiến ​​trên Internet là đúng: "Toán học đánh lừa những người có con số"?

Vâng, tôi đồng ý rằng trong sự vĩ đại của toán học, bạn có thể “đánh lừa” mọi người - mỗi quảng cáo dầu gội đầu thứ hai đều nói rằng nó làm tăng độ bông lên một số phần trăm. Chúng ta sẽ tìm kiếm các ví dụ khác về các công cụ hữu ích hàng ngày có thể được sử dụng cho hoạt động tội phạm chứ?

Một gam!

Tiêu đề của đoạn văn này là một động từ (số nhiều ở ngôi thứ nhất) không phải là một danh từ (số nhiều chỉ định của một phần nghìn kilôgam). Sự hài hòa bao hàm trật tự và âm nhạc. Đối với người Hy Lạp cổ đại, âm nhạc là một nhánh của khoa học - phải thừa nhận rằng nếu nói như vậy, chúng ta đã chuyển nghĩa hiện tại của từ "khoa học" sang thời trước kỷ nguyên của chúng ta. Pythagoras sống vào thế kỷ XNUMX trước Công nguyên, ông không những không biết máy tính, điện thoại di động và email mà còn không biết Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne và Cicero là ai. Anh ấy không biết tiếng Ả Rập hay thậm chí cả chữ số La Mã (chúng được sử dụng vào khoảng thế kỷ thứ XNUMX trước Công nguyên), anh ấy không biết các cuộc chiến tranh Punic là gì ... Nhưng anh ấy biết âm nhạc ...

Ông biết rằng trên các nhạc cụ dây, hệ số dao động tỉ lệ nghịch với chiều dài bộ phận dao động của dây. Anh ấy biết, anh ấy biết, anh ấy không thể diễn đạt nó theo cách chúng ta làm ngày nay.

Tần số dao động của hai dây tạo thành một quãng tám có tỉ lệ 1:2, nghĩa là tần số của nốt cao hơn gấp đôi tần số của nốt thấp hơn. Tỷ lệ rung chính xác cho âm thanh thứ năm là 2:3, âm thanh thứ tư là 3:4, âm thanh thứ ba thuần túy là 4:5, âm thanh thứ ba là 5:6. Đây là những khoảng phụ âm dễ chịu. Sau đó là hai trung tính, với tỷ lệ rung 6:7 và 7:8, sau đó là âm nghịch - một âm lớn (8:9), một âm nhỏ (9:10). Các phân số (tỷ lệ) này giống như tỷ lệ của các phần tử liên tiếp của một dãy mà các nhà toán học (vì lý do này) gọi là chuỗi điều hòa:

là một tổng vô hạn về mặt lý thuyết. Tỷ lệ dao động của quãng tám có thể được viết là 2: 4 và đặt một phần năm giữa chúng: 2: 3: 4, nghĩa là chúng ta sẽ chia quãng tám thành một phần năm và một phần tư. Điều này được gọi là phép chia đoạn điều hòa trong toán học:

Cơm. 1. Đối với một nhạc sĩ: chia quãng tám AB thành quãng năm AC.Đối với nhà toán học: Phân đoạn hài

Ý tôi là gì khi tôi nói (ở trên) về một tổng vô hạn về mặt lý thuyết, chẳng hạn như chuỗi điều hòa? Nó chỉ ra rằng một tổng như vậy có thể là bất kỳ số lớn, điều chính là chúng ta cộng trong một thời gian dài. Có ngày càng ít thành phần, nhưng càng ngày càng có nhiều. Điều gì chiếm ưu thế? Ở đây chúng ta bước vào lĩnh vực phân tích toán học. Nó chỉ ra rằng các thành phần được cạn kiệt, nhưng không phải là rất nhanh chóng. Tôi sẽ cho thấy điều đó bằng cách lấy đủ nguyên liệu, tôi có thể tổng kết:

lớn tùy ý. Hãy lấy "ví dụ" n = 1024. Hãy nhóm các từ như thể hiện trong hình:

Trong mỗi dấu ngoặc, mỗi từ đều lớn hơn từ trước, tất nhiên, ngoại trừ từ cuối cùng, bằng với chính nó. Trong ngoặc sau, chúng ta có 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 và 512 thành phần; giá trị của tổng trong mỗi dấu ngoặc đơn lớn hơn ½. Tất cả điều này là hơn 5 ½. Các tính toán chính xác hơn sẽ cho thấy rằng số tiền này là khoảng 7,50918. Không nhiều, nhưng luôn luôn, và bạn có thể thấy rằng bằng cách lấy n lớn bất kỳ, tôi có thể tốt hơn bất kỳ số nào. Điều này cực kỳ chậm (ví dụ, chúng tôi đứng đầu mười chỉ với các thành phần), nhưng tốc độ tăng trưởng vô hạn luôn luôn thu hút các nhà toán học.

Hành trình đến vô cực với chuỗi điều hòa

Đây là một câu đố cho một số toán học khá nghiêm túc. Chúng tôi có nguồn cung cấp không giới hạn các khối hình chữ nhật (tôi có thể nói, hình chữ nhật!) Với kích thước, chẳng hạn, 4 × 2 × 1. Hãy xem xét một hệ thống bao gồm một số (trên quả sung. 2 - bốn) khối, được sắp xếp sao cho khối thứ nhất nghiêng ½ chiều dài của nó, khối thứ hai nghiêng ¼ từ trên xuống, v.v., khối thứ ba nghiêng một phần sáu. Chà, có lẽ để làm cho nó thực sự ổn định, hãy nghiêng viên gạch đầu tiên ít hơn một chút. Nó không quan trọng đối với tính toán.

Cơm. 2. Xác định trọng tâm

Cũng dễ hiểu vì hình gồm hai khối đầu (tính từ trên xuống) có tâm đối xứng tại điểm B nên B là trọng tâm. Hãy xác định về mặt hình học trọng tâm của hệ gồm ba khối trên. Một đối số rất đơn giản là đủ ở đây. Hãy nhẩm chia thành phần ba khối thành hai khối trên và khối thứ ba ở dưới. Trọng tâm này phải nằm trên đoạn nối trọng tâm của hai phần. Ở thời điểm nào trong tập này?

Có hai cách để chỉ định. Đầu tiên, chúng ta sẽ sử dụng quan sát rằng tâm này phải nằm ở giữa của hình chóp ba khối, tức là trên một đường thẳng cắt khối thứ hai, ở giữa. Theo cách hiểu thứ hai, ta hiểu rằng vì hai khối trên cùng có tổng khối lượng gấp đôi khối 3 (đỉnh) nên trọng tâm trên đoạn này phải gần B gấp đôi khối tâm. S của khối thứ ba. Tương tự, chúng ta tìm điểm tiếp theo: chúng ta nối tâm tìm được của ba khối với tâm S của khối thứ tư. Tâm của toàn hệ thống ở độ cao 2 và tại điểm chia đoạn từ 1 đến 3 (nghĩa là bằng ¾ chiều dài của nó).

Các tính toán mà chúng tôi sẽ thực hiện xa hơn một chút dẫn đến kết quả được hiển thị trong Hình. Hình 3. Các trọng tâm liên tiếp bị loại bỏ khỏi cạnh bên phải của khối dưới bằng cách:

Như vậy, hình chiếu trọng tâm của hình chóp luôn nằm trong mặt đáy. Tháp sẽ không bị lật. Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào quả sung. 3 và trong giây lát, hãy sử dụng khối thứ năm từ trên cùng làm cơ sở (khối được đánh dấu bằng màu sáng hơn). Nghiêng đầu:

do đó, cạnh trái của nó xa hơn cạnh phải của cơ sở 1. Đây là cú xoay tiếp theo:

Swing lớn nhất là gì? Chúng tôi đã biết! Không có điều gì vĩ đại nhất! Lấy ngay cả những khối nhỏ nhất, bạn có thể nhận được phần nhô ra của một km - thật không may, chỉ về mặt toán học: cả Trái đất sẽ không đủ để xây nhiều khối như vậy!

Cơm. 3. Thêm nhiều khối

Bây giờ các tính toán mà chúng tôi đã để lại ở trên. Chúng tôi sẽ tính toán tất cả các khoảng cách "theo chiều ngang" trên trục x, bởi vì đó là tất cả những gì cần có. Điểm A (trọng tâm của khối thứ nhất) cách mép bên phải 1/2. Điểm B (tâm của hệ hai khối) cách cạnh bên phải của khối thứ hai bằng 1/4. Đặt điểm bắt đầu là điểm cuối của khối thứ hai (bây giờ chúng ta sẽ chuyển sang khối thứ ba). Ví dụ, trọng tâm của khối duy nhất số 3 ở đâu? Do đó, một nửa chiều dài của khối này là 1/2 + 1/4 = 3/4 tính từ điểm tham chiếu của chúng tôi. Điểm C ở đâu? Trong hai phần ba của đoạn từ 3/4 đến 1/4, tức là tại điểm trước đó, chúng tôi thay đổi điểm tham chiếu sang cạnh bên phải của khối thứ ba. Trọng tâm của hệ thống ba khối bây giờ bị loại bỏ khỏi điểm tham chiếu mới, v.v. Trọng tâm C_n một tháp gồm n khối cách điểm chuẩn tức thời 1 / 2n, là cạnh bên phải của khối cơ sở, tức là khối thứ n tính từ đỉnh.

Vì chuỗi số biến thiên phân kỳ, chúng ta có thể nhận được bất kỳ sự biến thiên lớn nào. Điều này có thể thực sự được thực hiện? Nó giống như một tòa tháp gạch vô tận - sớm muộn gì nó cũng sẽ sụp đổ dưới sức nặng của chính nó. Trong sơ đồ của chúng tôi, sự thiếu chính xác tối thiểu trong vị trí khối (và sự gia tăng chậm tổng số một phần của chuỗi) có nghĩa là chúng tôi sẽ không đi được xa.