Phương trình, mật mã, mật mã, toán học và thơ ca

Michal Shurek nói về bản thân: “Tôi sinh năm 1946. Tôi tốt nghiệp Đại học Warsaw năm 1968 và kể từ đó tôi làm việc tại Khoa Toán, Tin học và Cơ học. Chuyên ngành khoa học: hình học đại số. Gần đây tôi đã xử lý các gói vectơ. Chùm vectơ là gì? Vì vậy, các vectơ cần được buộc chặt bằng một sợi chỉ và chúng ta đã có một bó. Người bạn vật lý của tôi, Anthony Sim, đã mời tôi tham gia Young Technician (anh ấy thừa nhận rằng lẽ ra anh ấy nên nhận tiền bản quyền từ các khoản phí của tôi). Tôi đã viết một vài bài báo và sau đó tôi ở lại, và kể từ năm 1978, bạn có thể đọc hàng tháng những gì tôi nghĩ về toán học. Tôi yêu những ngọn núi và mặc dù thừa cân, tôi vẫn cố gắng đi bộ. Tôi nghĩ giáo viên là quan trọng nhất. Tôi sẽ giữ các chính trị gia, bất kể lựa chọn của họ là gì, trong một khu vực được bảo vệ nghiêm ngặt để họ không thể trốn thoát. Cho ăn một lần một ngày. Một chú chó săn từ Tulek thích tôi.

Một phương trình giống như một mật mã cho một nhà toán học. Giải phương trình, tinh túy của toán học, là đọc bản mã. Điều này đã được các nhà thần học chú ý từ thế kỷ XNUMX. John Paul II, người biết toán học, đã viết và đề cập đến điều này nhiều lần trong các bài giảng của mình - thật không may, sự thật đã bị xóa khỏi trí nhớ của tôi.

Trong khoa học học đường, nó được đại diện Pythagoras là tác giả của định lý về sự phụ thuộc nào đó trong tam giác vuông. Vì vậy, nó đã trở thành một phần của triết lý Châu Âu của chúng tôi. Và Pythagoras còn có nhiều đức tính hơn thế. Chính ông đã áp đặt cho các học trò của mình bổn phận phải “biết thế giới”, khỏi “đằng sau ngọn đồi này là gì? trước khi nghiên cứu các vì sao. Đó là lý do tại sao người châu Âu “phát hiện” ra những nền văn minh cổ đại, và không phải ngược lại.

Một số độc giả nhớViète mẫuVà"; nhiều độc giả lớn tuổi nhớ chính thuật ngữ này từ trường học và thực tế là câu hỏi xuất hiện trong phương trình bậc hai. Những quy tắc này là "về mặt ý thức hệ" mã hóa thông tin.

Không có gì lạ Francois Việt (1540-1603) tham gia vào lĩnh vực mật mã tại triều đình Henry IV (vị vua đầu tiên của Pháp từ triều đại Bourbon, 1553-1610) và đã tìm cách phá được mật mã được người Anh sử dụng trong cuộc chiến với Pháp. Vì vậy, ông đóng vai trò giống như các nhà toán học Ba Lan (do Marian Rejewski dẫn đầu), những người đã khám phá ra bí mật của cỗ máy mật mã Enigma của Đức trước Thế chiến thứ hai.

chủ đề thời trang

Một cách chính xác. Chủ đề "mật mã và mật mã" từ lâu đã trở thành mốt trong giảng dạy. Tôi đã viết về điều này vài lần rồi, và hai tháng nữa sẽ có một loạt bài khác. Lần này tôi đang viết dưới ấn tượng về một bộ phim về cuộc chiến năm 1920, nơi mà chiến thắng phần lớn là do sự phá vỡ mã của quân Bolshevik bởi một đội do những người trẻ tuổi lúc bấy giờ chỉ huy. Vaclav Sierpinski (1882-1969). Không, nó chưa phải là Enigma, nó chỉ là phần giới thiệu thôi. Tôi nhớ một cảnh trong phim mà Józef Piłsudski (do Daniil Olbrychski thủ vai) nói với trưởng phòng mật mã:

Các thông điệp được giải mã mang một thông điệp quan trọng: Quân đội của Tukhachevsky sẽ không nhận được sự hỗ trợ. Bạn có thể tấn công!

Tôi biết Vaclav Sierpinski (nếu tôi có thể nói như vậy: Tôi là một sinh viên trẻ, ông ấy là một giáo sư nổi tiếng), đã tham dự các bài giảng và hội thảo của ông ấy. Anh ta tạo ấn tượng về một học giả khô héo, mất tập trung, bận rộn với kỷ luật của mình và không nhìn thấy thế giới bên kia. Anh ấy giảng bài cụ thể, đối mặt với bảng đen, không nhìn vào khán giả ... nhưng anh ấy cảm thấy mình như một chuyên gia xuất chúng. Bằng cách này hay cách khác, anh ta có một số khả năng toán học nhất định - ví dụ, để giải quyết các vấn đề. Có những nhà khoa học khác, những người tương đối kém trong việc giải các câu đố, nhưng lại có hiểu biết sâu sắc về toàn bộ lý thuyết và có thể khởi xướng toàn bộ lĩnh vực sáng tạo. Chúng tôi cần cả hai - mặc dù cái đầu tiên sẽ di chuyển nhanh hơn.

Vaclav Sierpinski chưa bao giờ nói về những thành tựu của mình trong năm 1920. Cho đến năm 1939, điều này nhất định phải được giữ bí mật, và sau năm 1945, những người chiến đấu với nước Nga Xô Viết không được chính quyền lúc bấy giờ thông cảm. Niềm tin của tôi rằng cần có các nhà khoa học, giống như một đội quân, đã được chứng minh: "đề phòng." Đây là Tổng thống Roosevelt gọi điện cho Einstein:

Nhà toán học xuất sắc người Nga Igor Arnold đã công khai và buồn bã nói rằng chiến tranh có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của toán học và vật lý (radar và GPS cũng có nguồn gốc quân sự). Tôi không đi sâu vào khía cạnh đạo đức của việc sử dụng bom nguyên tử: đây là sự kéo dài của cuộc chiến trong một năm và cái chết của hàng triệu binh lính của chính họ - có sự đau khổ của những thường dân vô tội.

***

Tôi chạy trốn đến những khu vực quen thuộc - k. Nhiều người trong chúng tôi chơi với mật mã, có thể là do thám, có thể chỉ như vậy. Các mật mã đơn giản, dựa trên nguyên tắc thay thế các chữ cái bằng các chữ cái khác hoặc các số khác, thường bị phá vỡ nếu chúng ta chỉ bắt được một vài manh mối (ví dụ: chúng ta đoán tên của nhà vua). Phân tích thống kê cũng giúp ngày hôm nay. Tệ hơn, khi mọi thứ đều có thể thay đổi. Nhưng điều tồi tệ nhất là khi không có sự đều đặn. Hãy xem đoạn mã được mô tả trong Những cuộc phiêu lưu của người lính tốt Schweik. Lấy một cuốn sách, ví dụ, Lũ lụt. Dưới đây là những gợi ý trên trang đầu tiên và trang thứ hai.

Chúng tôi muốn mã hóa từ "CAT". Chúng tôi mở ở trang 1 và giây tiếp theo. Chúng tôi thấy rằng ở trang 1, chữ K xuất hiện đầu tiên ở vị trí thứ 59. Chúng tôi tìm thấy từ thứ năm mươi chín ở phía đối diện, phía bên kia. Đó là một từ "a". Bây giờ là chữ O. Bên trái là chữ thứ 16, và chữ thứ mười sáu bên phải là "Mr." Chữ T đứng ở vị trí thứ 95, nếu tôi đếm đúng, và thứ chín mươi lăm từ bên phải là "o". Vì vậy, CAT = 1 CHÚA O.

Một mật mã "không thể đoán được", mặc dù làm chậm một cách đáng kinh ngạc đối với cả mã hóa và ... để đoán. Giả sử chúng ta muốn chuyển chữ M. Chúng ta có thể kiểm tra xem chúng ta có mã hóa nó bằng từ "Wołodyjowski" hay không. Và sau khi chúng tôi, họ đã chuẩn bị một phòng giam. Chúng tôi chỉ có thể tin tưởng vào một sự thay thế! Ngoài ra, cơ quan phản gián ghi nhận báo cáo của các nhân viên bí mật rằng trong một thời gian, khách hàng đã sẵn lòng mua tập đầu tiên của The Flood.

Bài viết của tôi là một đóng góp cho luận điểm này: ngay cả những ý tưởng kỳ lạ nhất của các nhà toán học cũng có thể tìm thấy ứng dụng trong một thực tế được hiểu rộng rãi. Ví dụ, có thể tưởng tượng một khám phá toán học ít hữu ích hơn là bài kiểm tra tính chia hết cho ... cho 47 không?

Khi nào chúng ta cần nó trong cuộc sống? Và nếu vậy, sẽ dễ dàng hơn khi cố gắng tách nó ra. Nếu nó phân chia thì tốt, nếu không, thì ... thứ hai là tốt (chúng ta biết rằng nó không chia).

Cách chia sẻ và tại sao

Sau phần giới thiệu này, chúng ta hãy chuyển sang phần Bạn đọc có biết dấu hiệu chia hết nào không? Chắc chắn. Các số chẵn kết thúc bằng 2, 4, 6, 8 hoặc không. Một số chia hết cho ba nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho ba. Tương tự, với dấu hiệu chia hết cho chín - tổng các chữ số phải chia hết cho chín.

Ai cần nó? Tôi sẽ nói dối nếu tôi thuyết phục được Người đọc rằng anh ấy giỏi cho bất cứ việc gì khác ngoài ... bài tập ở trường. Chà, và một tính năng khác của tính chia hết cho 4 (và nó là gì, Reader? Có thể bạn sẽ sử dụng nó khi muốn biết Olympic tiếp theo diễn ra vào năm nào ...). Nhưng tính năng của phép chia hết cho 47? Đây đã là một vấn đề đau đầu. Liệu chúng ta có bao giờ biết được một cái gì đó có chia hết cho 47 không? Nếu có, sau đó lấy một máy tính và xem.

Đây là. Bạn nói đúng, Reader. Chưa hết, hãy đọc tiếp. Không có chi.

Chia hết cho 47: Số 100+ chia hết cho 47 nếu và chỉ khi 47 chia hết cho +8.

Nhà toán học sẽ mỉm cười hài lòng: "Gee, xinh." Nhưng toán học là toán học. Bằng chứng quan trọng, và chúng tôi chú ý đến vẻ đẹp của nó. Làm thế nào để chứng minh đặc điểm của chúng tôi? Nó rất đơn giản. Trừ 100 + số 94 - 47 = 47 (2 -). Ta có 100+-94+47=6+48=6(+8).

Ta đã trừ một số chia hết cho 47 nên nếu 6 (+ 8) chia hết cho 47 thì 100 + cũng vậy. Nhưng số 6 là nguyên tố của 47, có nghĩa là 6 (+ 8) chia hết cho 47 nếu và chỉ khi nó là + 8. Kết thúc phần chứng minh.

Hãy xem nào Vài ví dụ.

8805685 có chia hết cho 47 không? Nếu chúng ta thực sự quan tâm đến nó, chúng ta sẽ tìm ra sớm hơn chỉ bằng cách chia chúng ta ra giống như chúng ta đã được dạy ở trường tiểu học. Bằng cách này hay cách khác, bây giờ có một máy tính trong mọi điện thoại di động. Chia? Có, riêng 187355.

Hãy xem dấu hiệu chia hết cho chúng ta biết điều gì nhé. Chúng tôi ngắt kết nối hai chữ số cuối cùng, nhân chúng với 8, thêm kết quả vào "số bị cắt ngắn" và làm tương tự với số kết quả.

8805685 → 88056 + 8 * 85 = 88736 → 887 + 8 * 36 = 1175 → 11 + 8 * 75 = 611 → 6 + 8 * 11 = 94.

Ta thấy 94 chia hết cho 47 (thương là 2) tức là số ban đầu cũng chia hết. Tốt. Nhưng nếu chúng ta tiếp tục vui vẻ thì sao?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Bây giờ chúng ta phải dừng lại. Bốn mươi bảy chia hết cho 47 phải không?

Chúng ta có thực sự cần phải dừng lại không? Nếu chúng ta đi xa hơn thì sao? Ôi trời, chuyện gì cũng có thể xảy ra ... Tôi sẽ lược bỏ chi tiết. Có lẽ chỉ là sự khởi đầu:

47 → 0 + 8 * 47 = 376 → 3 + 8 * 76 = 611 → 6 + 8 * 11 = 94 → 0 + 8 * 94 = 752.

Nhưng, thật không may, nó cũng gây nghiện như nhai hạt ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

À, bốn mươi bảy. Nó đã xảy ra trước đây. Cái gì tiếp theo? . Giống nhau. Các con số đi theo một vòng lặp như thế này:

Nó thật sự rất thú vị. Rất nhiều vòng lặp.

Hai ví dụ sau.

Chúng ta muốn biết 10017627 có chia hết cho 47 không. Tại sao chúng ta cần kiến ​​thức này? Chúng tôi ghi nhớ nguyên tắc: khốn cho kiến ​​thức mà không giúp ích cho người biết. Kiến thức luôn ở đó cho một cái gì đó. Nó sẽ là cho một cái gì đó, nhưng bây giờ tôi sẽ không giải thích. Một số tài khoản khác:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Anh ấy đã thay đổi chú của mình từ một cái rìu thành một cây gậy." Chúng ta nhận được gì từ tất cả những điều này?

Chà, hãy lặp lại quá trình tố tụng. Đó là, chúng tôi sẽ tiếp tục làm điều này (nghĩa là từ "lặp đi lặp lại").

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Hãy dừng cuộc chơi, chia như ở trường (hoặc trên máy tính bỏ túi): 235 = 5 47. Bingo. Số ban đầu 10017627 chia hết cho 47.

Làm tốt!

Nếu chúng ta đi xa hơn thì sao? Hãy tin tưởng ở tôi, bạn có thể kiểm tra nó.

Và một sự thật thú vị nữa. Chúng ta muốn kiểm tra xem 799 có chia hết cho 47 không, chúng ta sử dụng hàm chia hết. Chúng tôi ngắt kết nối hai chữ số cuối cùng, nhân số kết quả với 8 và thêm vào những gì còn lại:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Những gì chúng tôi có? 799 có chia hết cho 47 không nếu và chỉ khi 799 chia hết cho 47? Vâng, đúng vậy, nhưng không cần toán học cho việc này !!! Dầu là dầu (ít nhất là dầu này là dầu).

Về chiếc lá, những tên cướp biển và cái kết của truyện cười!

Hai câu chuyện nữa. Nơi tốt nhất để giấu một chiếc lá? Câu trả lời là hiển nhiên: trong rừng! Nhưng làm thế nào bạn có thể tìm thấy nó sau đó?

Điều thứ hai chúng ta biết từ những cuốn sách về cướp biển mà chúng ta đã đọc cách đây rất lâu. Những tên cướp biển đã lập một bản đồ về nơi mà chúng đã chôn cất kho báu. Những người khác hoặc đánh cắp nó hoặc giành chiến thắng trong cuộc chiến. Nhưng bản đồ không cho biết nó được định hướng tới hòn đảo nào. Và hãy tự tìm kiếm! Tất nhiên, những tên cướp biển đã đối phó với điều này (tra tấn) - mật mã mà tôi đang nói đến cũng có thể được trích xuất bằng các phương pháp như vậy.

Kết thúc trò đùa. Người đọc! Chúng tôi tạo ra một mật mã. Tôi là gián điệp chìm và sử dụng "Kỹ thuật viên cấp dưới" làm hộp liên lạc của mình. Chuyển tiếp cho tôi tin nhắn được mã hóa như sau.

Đầu tiên, hãy chuyển đổi văn bản thành một chuỗi số bằng mã: AB CDEFGH IJ KLMN ON RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Như bạn có thể thấy, chúng tôi không sử dụng các dấu Ba Lan (tức là không có ą, ę, ć, ń, ó, ś) và không phải Ba Lan q, v - nhưng x không phải Ba Lan vẫn có trong trường hợp này. Hãy bao gồm 25 khác dưới dạng khoảng trắng (khoảng cách giữa các từ). Ồ, điều quan trọng nhất. Vui lòng áp dụng mã số 47.

Bạn biết điều đó có nghĩa là gì. Bạn đến gặp một nhà toán học bạn bè.

Người bạn tròn mắt ngạc nhiên.

Bạn tự hào trả lời:

Một nhà toán học tán thành bạn với đặc điểm này ... và bạn đã biết rằng một hàm trông không dễ thấy được sử dụng để mã hóa

bởi vì một mẫu như vậy là một hành động được mô tả

100+→+8.

Vì vậy, khi bạn muốn biết một số có nghĩa là gì, chẳng hạn như 77777777 trong một tin nhắn được mã hóa, bạn sử dụng hàm

100+→+8

cho đến khi bạn nhận được một số từ 1 đến 25. Bây giờ hãy nhìn vào mã chữ và số rõ ràng. Hãy xem: 77777777 →… Tôi giao việc này cho bạn như một nhiệm vụ. Nhưng hãy xem lá thư 48 ẩn chứa điều gì? Cùng đọc nào:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Sau đó, chúng ta lần lượt nhận được:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

Kết cục không có trong tầm mắt. Chỉ sau thời gian thứ sáu mươi (!) Sẽ xuất hiện một số nhỏ hơn 25. Đây là 3, có nghĩa là 48 là chữ C.

Và thông điệp này mang lại cho chúng ta điều gì? (Tôi muốn nhắc bạn rằng chúng tôi sử dụng mã số 47):

80 - 152 - 136 - 546 - 695719 - 100 - 224 - 555 - 412 - 111 - 640 - 102 - 152 - 12881 - 444 - 77777777 - 59 - 408 - 373 - 1234567 - 341.

Chà, thử nghĩ xem, có gì mà phức tạp vậy, một số tài khoản. Chúng tôi đã bắt đầu. Đầu năm 80. Quy tắc đã biết:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Nó tiếp tục như thế này:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Ăn! Chữ cái đầu tiên của tin nhắn là K. Phù, dễ, nhưng sẽ mất bao lâu?

Hãy cũng xem ta phải gặp bao nhiêu rắc rối với số 1234567. Chỉ đến lần thứ mười sáu ta mới lấy được số nhỏ hơn 25, tức là 12. Vậy 1234567 là L.

Được rồi, người ta có thể nói, nhưng phép toán số học này đơn giản đến mức lập trình nó trên máy tính sẽ lập tức phá mã. Vâng đúng vậy. Đây là những tính toán máy tính đơn giản. ý tưởng với mật mã công khai và nó cũng là về việc làm cho các tính toán khó khăn cho máy tính. Hãy để nó hoạt động trong ít nhất một trăm năm. Anh ta sẽ giải mã tin nhắn chứ? Không thành vấn đề. Nó sẽ không thành vấn đề trong một thời gian dài. Đây là (ít nhiều) những gì về mật mã công khai. Chúng có thể bị phá vỡ nếu bạn làm việc trong một thời gian rất dài ... cho đến khi tin tức không còn phù hợp nữa.

 nó đã luôn luôn sinh ra "phản công". Tất cả bắt đầu với một thanh kiếm và chiếc khiên. Cơ quan Mật vụ trả một số tiền khổng lồ cho các nhà toán học tài năng để phát minh ra các phương pháp mã hóa mà máy tính (bao gồm cả những máy tính do chúng tôi tạo ra) sẽ không thể bẻ khóa trong thế kỷ XNUMX.

thế kỷ hai mươi hai? Không quá khó để biết rằng đã có rất nhiều người trên thế giới sẽ sống trong thế kỷ tươi đẹp này!

Ồ hả? Điều gì sẽ xảy ra nếu tôi yêu cầu (tôi, Nhân viên bí mật được “Kỹ thuật viên trẻ” liên hệ) mã hóa bằng mã số 23? Hay 17? Đơn giản:

Mong rằng chúng ta không bao giờ phải sử dụng toán học cho những mục đích như vậy.

***

Tiêu đề của bài báo là về thơ. Cô ấy phải làm gì với điều này?

Như thế nào? Thơ cũng mã hóa thế giới.

Làm thế nào?

Bằng phương pháp của họ - tương tự như phương pháp đại số.