Giải thưởng Abel

Sẽ rất ít độc giả nói gì về cái tên Abel. Không, đây không phải là về người thanh niên bất hạnh bị chính anh trai của mình là Cain giết chết. Tôi đang đề cập đến nhà toán học Na Uy Niels Henrik Abel (1802–1829) và giải thưởng mang tên ông vừa được trao (ngày 16 tháng 2016 năm XNUMX) bởi Viện Hàn lâm Khoa học Na Uy và lá thư cho Ngài Andrew J. Wiles. Điều này bù đắp cho các nhà toán học vì đã bị Alfred Nobel bỏ xa trong bảng xếp hạng hạng mục của giải thưởng khoa học quan trọng nhất thế giới.

Mặc dù các nhà toán học đánh giá cao cái gọi là. Huy chương Fields (chính thức được coi là vòng nguyệt quế cao nhất trong lĩnh vực của nó), nó chỉ được liên kết với 15 nghìn. (không phải hàng triệu, hàng nghìn!) đô la Canada cho đến khi người chiến thắng Giải thưởng Abel bỏ vào túi một tấm séc trị giá 6 triệu kroner Na Uy (khoảng 750 8 euro). Những người đoạt giải Nobel nhận được 865 triệu SEK, tương đương khoảng XNUMX nghìn. euro - ít hơn vận động viên quần vợt khi giành chiến thắng trong một giải đấu lớn. Có một số lý do có thể khiến Alfred Nobel không đưa các nhà toán học vào danh sách những người có khả năng đoạt giải. Di chúc của Nobel đề cập đến "những phát minh và khám phá" mang lại lợi ích lớn nhất cho nhân loại, nhưng có lẽ không phải là lý thuyết mà là thực tiễn. Toán học đã không được coi là một ngành khoa học có thể mang lại những lợi ích thiết thực cho nhân loại.

Tại sao Abel

Ai là Niels Henrik Abel và anh ấy đã trở nên nổi tiếng như thế nào? Ông ấy hẳn là một người rất xuất sắc, bởi vì mặc dù ông ấy chết vì bệnh lao ở tuổi chỉ 27, ông ấy vẫn có một vị trí vĩnh viễn trong toán học. À, ở trường trung học cơ sở rồi, họ dạy chúng ta giải phương trình; bậc nhất đầu tiên, sau đó là hình vuông và đôi khi là hình khối. Bốn trăm năm trước, các nhà khoa học Ý đã có thể đối phó với phương trình tứ phânngay cả cái trông vô tội:

và một trong những yếu tố nào

Đúng vậy, các nhà khoa học có thể đã làm được điều này trong thế kỷ XNUMX. Không khó để đoán rằng các phương trình có cấp độ cao hơn đã được tính đến. Và không có gì. Không ai đã thành công trong hai trăm năm. Niels Abel cũng không thành công. Và rồi anh ấy nhận ra rằng ... có lẽ điều đó hoàn toàn không khả thi. Nó có thể được chứng minh không thể giải được một phương trình như vậy - hay nói đúng hơn là diễn đạt lời giải bằng các công thức số học đơn giản.

Đó là lần đầu tiên trong số 2. năm (!) của kiểu lập luận này: cái gì không chứng minh được, cái gì không làm được. Độc quyền về các chứng minh như vậy thuộc về toán học - ngành khoa học thực tiễn đang ngày càng phá vỡ các rào cản. Năm 1888, chủ tịch Ủy ban Bằng sáng chế Hoa Kỳ tuyên bố rằng "rất ít phát minh được mong đợi trong tương lai, bởi vì hầu hết mọi thứ đều đã được phát minh." Ngày nay, thật khó để chúng ta có thể cười nhạo điều này... Nhưng trong toán học, một khi đã được chứng minh, nó sẽ bị mất. Nó không thể được thực hiện.

Lịch sử phân chia khám phá mà tôi đã mô tả giữa Niels Abel i Evarista Galois, cả hai đều chết trước XNUMX tuổi, bị người cùng thời đánh giá thấp. Niels Abel là một trong số ít các nhà toán học Na Uy nổi tiếng rộng rãi (thực tế là hai, người còn lại là Sophus Lee, 1842-1899 - họ không nghe theo tiếng Scandinavia, nhưng cả hai đều là người Na Uy bản địa).

Người Na Uy có mâu thuẫn với người Thụy Điển - thật không may, điều này lại phổ biến giữa các dân tộc láng giềng. Một trong những động cơ để người Na Uy thành lập Giải thưởng Abel là mong muốn cho đồng bào Alfred Nobel thấy: làm ơn, chúng tôi không tệ hơn.

Theo đuổi mục nhập ký quỹ không tồn tại

Đây là Niels Henrik Abel dành cho bạn. Bây giờ về người chiến thắng giải thưởng, một người Anh 63 tuổi (sống ở Mỹ). Kỳ tích của anh ấy vào năm 1993 chỉ có thể được so sánh với việc leo lên Everest, leo lên mặt trăng, hoặc những thứ tương tự. Thưa ông là ai Andrew Wiles? Nếu bạn nhìn vào danh sách các ấn phẩm của ông ấy và các chỉ số trích dẫn có thể có, ông ấy sẽ là một nhà khoa học giỏi - có hàng nghìn người trong số họ. Tuy nhiên, ông được coi là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất. Nghiên cứu của ông liên quan đến lý thuyết số và sử dụng các mối quan hệ với hình học đại số Oraz lý thuyết biểu diễn.

Ông trở nên nổi tiếng vì đã giải được một bài toán hoàn toàn không đáng kể theo quan điểm của toán học chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat (ai không biết chuyện gì đang xảy ra - nhắc bên dưới). Tuy nhiên, giá trị thực không phải là bản thân giải pháp, mà là việc tạo ra một phương pháp thử nghiệm mới được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề quan trọng khác.

Ở thời điểm này, không thể không phản ánh tầm quan trọng của một số vấn đề, về thứ bậc thành tựu của con người. Hàng trăm nghìn người trẻ mơ ước đá bóng giỏi hơn người khác, hàng chục nghìn người muốn phơi mình trong gió Himalaya, nhảy từ cao su trên cầu, tạo ra âm thanh mà họ gọi là hát, nhét thức ăn không lành mạnh vào người khác ... hoặc giải một phương trình không cần thiết cho bất kỳ ai. Người chinh phục đỉnh Everest đầu tiên, Ngài Edward Hillary, đã trả lời thẳng vào câu hỏi tại sao anh ấy lại đến đó: "Bởi vì anh ấy là thế, bởi vì Everest là thế!" Tác giả của những lời này là một nhà toán học cả đời, đó là công thức cho cuộc sống của tôi. Người duy nhất đúng! Nhưng hãy kết thúc triết lý này. Hãy quay trở lại con đường lành mạnh của toán học. Tại sao tất cả những ồn ào về Định lý Fermat?

Tôi đoán tất cả chúng ta đều biết chúng là gì số nguyên tố. Chắc hẳn ai cũng hiểu câu “phân thân thành nhân tử”, nhất là khi con trai chúng tôi biến đồng hồ thành nhiều bộ phận.

Pierre de Ferma (1601-1665) là một luật sư đến từ Toulouse, nhưng ông cũng xử lý toán nghiệp dư và với kết quả khá tốt, bởi vì ông đã đi vào lịch sử toán học với tư cách là tác giả của nhiều định lý về lý thuyết số và giải tích. Anh ấy thường đặt những nhận xét và bình luận của mình vào lề những cuốn sách anh ấy đọc. Và chính xác - vào khoảng năm 1660, ông đã viết ở một trong những lề:

Đây là Pierre de Fermat dành cho bạn. Kể từ thời của anh ấy (và để tôi nhắc bạn rằng nhà quý tộc Gascon dũng cảm d'Artagnan sống ở Pháp vào thời điểm đó, và Andrzej Kmitsich đã chiến đấu với Bohuslav Radziwill ở Ba Lan), hàng trăm, và có lẽ thậm chí hàng nghìn nhà toán học lớn và nhỏ đã cố gắng tái tạo lại không thành công. cái lý luận lạc lõng của một kẻ nghiệp dư lỗi lạc. Mặc dù ngày nay chúng tôi chắc chắn rằng bằng chứng của Fermat không thể đúng, nhưng thật khó chịu khi câu hỏi đơn giản về việc liệu phương trình xⁿ + yⁿ = dⁿ, n> 2 có nghiệm là số tự nhiên? có thể là khó khăn.

Nhiều nhà toán học đến làm việc vào ngày 23 tháng 1993 năm XNUMX, đã tìm thấy trong e-mail của họ (khi đó là một phát minh mới, vẫn còn ấm áp) một thông điệp lạc quan: "Tin đồn từ Anh: Wiles chứng minh Fermat." Ngày hôm sau, báo chí hàng ngày đã viết về nó, và bài cuối cùng của loạt bài giảng của Wiles quy tụ báo chí, truyền hình và phóng viên ảnh - giống như tại một cuộc họp của một cầu thủ bóng đá nổi tiếng.

Bất cứ ai đọc "Satan từ lớp bảy" của Kornel Makuszyński chắc chắn nhớ những gì ông Iwo Gąsowski, anh trai của giáo sư lịch sử, người có hệ thống hỏi học sinh do Adaś Cisowski phát hiện, đã làm. Iwo Gąsowski vừa giải phương trình Fermat, vừa mất thời gian, tài sản và bỏ bê ngôi nhà:

Cuối cùng, ông Iwo hiểu rằng các dự luật về quyền lực sẽ không đảm bảo hạnh phúc gia đình và ông đã từ bỏ. Makuszyński không thích khoa học, nhưng ông ấy nói đúng về ông Gąsowski. Iwo Gąsowski đã mắc một sai lầm cơ bản. Anh ta không cố gắng trở thành một chuyên gia theo nghĩa tốt của từ này, mà hành động như một người nghiệp dư. Andrew Wiles là một người chuyên nghiệp.

Câu chuyện về cuộc chiến chống lại Định lý cuối cùng của Fermat thật thú vị. Có thể thấy khá đơn giản rằng chỉ cần giải chúng cho số mũ là số nguyên tố là đủ. Với n = 3, giải pháp được đưa ra vào năm 1770. Leonard Euler, với n = 5 – Peter Gustav Lejen Dirichlet (1828) và Adrienne Marie Legendre vào năm 1830, và tại n = 7 – Gabriel Lame vào năm 1840. Vào thế kỷ XNUMX, nhà toán học người Đức đã dành phần lớn năng lượng của mình cho bài toán Fermat Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Mặc dù không đạt được thành công cuối cùng, nhưng ông đã chứng minh rất nhiều trường hợp đặc biệt và khám phá ra nhiều tính chất quan trọng của số nguyên tố. Phần lớn đại số hiện đại, số học lý thuyết và lý thuyết số đại số có nguồn gốc từ công trình của Kummer về định lý Fermat.

Khi giải bài toán Fermat bằng các phương pháp lý thuyết số cổ điển, chúng được chia thành hai trường hợp phức tạp khác nhau: trường hợp thứ nhất, khi chúng ta giả sử rằng tích xyz là số nguyên tố với số mũ n, và trường hợp thứ hai, khi số z chia hết cho số mũ. Trong trường hợp thứ hai, người ta biết rằng không có nghiệm nào lên đến n = 150, và trong trường hợp thứ nhất, lên đến n = 000 (Lehmer, 6). Điều này có nghĩa là không thể có một mẫu đối chiếu khả thi trong mọi trường hợp: nó sẽ yêu cầu các hóa đơn hàng tỷ chữ số để có được nó.

Đây là một câu chuyện cũ dành cho bạn. Vào đầu năm 1988, trong thế giới toán học đã biết rằng Yoti Miyaoka đã chứng minh một số bất đẳng thức, từ đó đưa ra kết quả sau: nếu chỉ số mũ n đủ lớn, thì phương trình Fermat chắc chắn không có nghiệm. So với kết quả sớm hơn một chút của người Đức Gerd Faltings (1983) Kết quả của Miyaoka có nghĩa là nếu có các nghiệm thì (về mặt tỷ lệ thuận) chỉ có một số hữu hạn trong số đó. Vì vậy, lời giải của bài toán Fermat được rút gọn để liệt kê phần cuối của nhiều trường hợp. Thật không may, có bao nhiêu phương pháp trong số đó không được biết đến: các phương pháp mà Miyaoka sử dụng không cho phép ước tính có bao nhiêu phương pháp đã "ổn".

Điều đáng chú ý ở đây là trong nhiều năm, việc nghiên cứu định lý Fermat không được thực hiện trong khuôn khổ của lý thuyết số thuần túy, mà trong khuôn khổ của hình học đại số, một ngành toán học bắt nguồn từ đại số và một phần mở rộng của hình học giải tích Descartes, và bây giờ phổ biến hầu hết mọi nơi: từ nền tảng của toán học (lý thuyết topoi trong logic), thông qua phân tích toán học (phương pháp cohomological, sheaves hàm), hình học cổ điển, đến vật lý lý thuyết (gói vectơ, không gian xoắn, soliton).

Khi danh dự không quan tâm

Cũng khó mà không buồn cho số phận của nhà toán học, người có đóng góp rất lớn trong việc giải bài toán Fermat. Tôi đang nói về ArakielSuren Jurijewicz Arakielow, Nhà toán học Ukraine gốc Armenia), người vào đầu những năm 80, khi đang học năm thứ tư, đã tạo ra cái gọi là. lý thuyết giao nhau về các giống số học. Những bề mặt như vậy chứa đầy lỗ và không hoàn thiện, và những đường cong trên chúng có thể đột nhiên biến mất, như cũ, và sau đó xuất hiện trở lại. Lý thuyết giao điểm giải thích cách tính mức độ giao nhau của các đường cong như vậy. Nó là công cụ chính được Faltings và Miyaoka sử dụng trong công việc của họ về vấn đề Fermat.

Một khi Arakelov được mời để trình bày kết quả của mình tại một đại hội toán học lớn. Tuy nhiên, vì ông chỉ trích hệ thống của Liên Xô, ông đã bị từ chối cho phép rời đi. Chẳng bao lâu sau, anh ta phải nhập ngũ. Anh ta thách thức chứng minh rằng anh ta chống lại nghĩa vụ quân sự nói chung vì lý do hòa bình. Khi tôi biết được từ các nguồn khá đáng ngờ, anh ta được cho là đã được gửi đến một bệnh viện tâm thần đóng cửa, nơi anh ta đã ở đó khoảng một năm. Như bạn đã biết, rõ ràng là vì mục đích chính trị, các bác sĩ tâm thần Liên Xô đã chỉ ra một loại bệnh tâm thần phân liệt đặc biệt (trong tiếng Anh từ, có nghĩa là "chậm chạp", trong tiếng Nga tâm thần phân liệt chậm chạp).

Thật khó để nói một trăm phần trăm nó thực sự như thế nào, vì nguồn thông tin của tôi không đáng tin cậy lắm. Rõ ràng, sau khi xuất viện, Arakelov đã ở vài tháng trong một tu viện ở Zagorsk. Anh hiện đang sống ở Moscow với vợ và ba con. Anh ấy không làm toán. Andrew Wiles có đầy đủ danh dự và tiền bạc.

Từ quan điểm của một xã hội châu Âu được ăn no, bước đi cũng không thể hiểu nổi Grigory Perelman, người vào năm 2002 đã giải quyết vấn đề tô pô nổi tiếng nhất của thế kỷ XNUMX,”Phỏng đoán PoinariVà sau đó anh ấy đã từ chối tất cả các giải thưởng có thể có. Đầu tiên là huy chương Fields, được đề cập ở phần đầu, được các nhà toán học coi là tương đương với giải Nobel, và sau đó là giải thưởng một triệu đô la cho việc giải một trong bảy vấn đề toán học quan trọng nhất còn sót lại từ thế kỷ XX. "Những người khác tốt hơn, tôi không quan tâm đến danh dự, bởi vì toán học là sở thích của tôi, tôi có thức ăn và thuốc lá," anh ít nhiều nói với thế giới kinh ngạc.

Thành công sau hơn 300 năm

Định lý lớn của Fermat chắc chắn là bài toán nổi tiếng nhất và hiệu quả nhất. Nó đã được mở trong hơn ba trăm năm, nó được xây dựng theo một cách rất rõ ràng và dễ đọc và về mặt lý thuyết, nó có thể bị tấn công bởi bất kỳ ai, và trong thời đại phổ biến của máy tính, tương đối dễ dàng để cố gắng phá vỡ một kỷ lục khác trong việc đánh giá phương pháp khả thi. Trong lịch sử toán học, vấn đề này, thông qua vai trò truyền cảm hứng của nó, đã đóng một vai trò “hình thành văn hóa” rất quan trọng, góp phần vào sự xuất hiện của toàn bộ ngành toán học. Điều này thật kỳ lạ vì bản thân vấn đề là tương đối nhỏ và thông tin đơn thuần về việc thiếu nghiệm nguyên trong phương trình Fermat không đóng góp nhiều vào kho tàng kiến ​​thức toán học nói chung.

Năm 1847, Gabriel Lamet (1795-1870) thuyết trình tại Viện Hàn lâm Khoa học Pháp công bố lời giải cho bài toán Fermat. Tuy nhiên, một lỗi tinh tế trong lập luận đã được nhận thấy ngay lập tức. Nó dựa trên việc sử dụng trái phép định lý phân rã duy nhất. Chúng tôi nhớ từ trường rằng mỗi số có một phân tích duy nhất thành thừa số nguyên tố, ví dụ, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Số 503 không có ước (ngoại trừ chính 1 và 503), vì vậy nó không thể được mở rộng thêm.

Thuộc tính duy nhất phân phối được sở hữu bởi các số nguyên dương, nhưng trong số các tập hợp số khác, chúng không nhất thiết phải như vậy. Ví dụ, đối với số ký tự

chúng ta có 36 = 2²⋅2³ ,nhưng cũng

Bằng cách phân tích chứng minh của Lame, Kummer đã có thể chứng minh tính đúng đắn của phỏng đoán Fermat đối với một số số mũ của p. Ông gọi chúng là các số nguyên tố đều. Đây là bước quan trọng đầu tiên hướng tới một bằng chứng hoàn chỉnh. Một huyền thoại đã lớn lên xung quanh định lý Fermat. “Hoặc có thể còn tệ hơn - có thể bạn thậm chí không thể chứng minh rằng nó có thể hoặc không thể giải được?”

Nhưng kể từ những năm 80, mọi người đều cảm thấy rằng mục tiêu đã gần kề. Tôi nhớ rằng Bức tường Berlin vẫn đứng vững và tôi đã nghe các bài giảng về "sớm thôi, trong giây lát." Chà, ai đó phải là người đầu tiên. Andrew Wiles kết thúc bài giảng của mình bằng một câu nói bằng tiếng Anh: "Tôi nghĩ Fermat đã chứng minh điều đó," và phải mất một thời gian trước khi đám đông khán giả nhận ra điều gì đã xảy ra: một bài toán 330 năm tuổi được hàng trăm nhà toán học từ trung đoàn và vô số tài tử, chẳng hạn như Ivo Gonsovsky từ tiểu thuyết của Makushinsky. Và Andrew Wiles đã vinh dự được bắt tay với Harald V, Vua của Na Uy. Có lẽ anh ta không chú ý đến khoản trợ cấp khiêm tốn cho Giải thưởng Abel, khoảng vài trăm nghìn euro - tại sao anh ta cần nhiều tiền như vậy?