Mật mã và gián điệp

Trong Góc toán học hôm nay, tôi sẽ xem xét một chủ đề mà tôi đã thảo luận tại Trại khoa học hàng năm dành cho trẻ em của Tổ chức Nhi đồng Quốc gia. Tổ chức đang tìm kiếm trẻ em và thanh thiếu niên có sở thích khoa học. Bạn không cần phải cực kỳ có năng khiếu, nhưng bạn cần phải có một "tinh thần khoa học". Điểm học rất tốt là không cần thiết. Hãy thử nó, bạn có thể thích nó. Nếu bạn là học sinh cuối cấp tiểu học hoặc trung học, hãy nộp đơn. Thông thường phụ huynh hoặc nhà trường lập báo cáo, nhưng điều này không phải lúc nào cũng đúng. Tìm trang web của Tổ chức và tìm hiểu.

Ngày càng có nhiều cuộc nói chuyện trong trường học về "mã hóa", đề cập đến hoạt động trước đây được gọi là "lập trình". Đây là một thủ tục phổ biến cho các nhà giáo dục lý thuyết. Họ đào sâu các phương pháp cũ, đặt cho chúng một cái tên mới, và "tiến bộ" được thực hiện bởi chính nó. Có một số khu vực xảy ra hiện tượng theo chu kỳ như vậy.

Có thể kết luận rằng tôi đã phá giá giáo huấn. Không. Trong sự phát triển của nền văn minh, đôi khi chúng ta quay trở lại những gì đã từng, đã bị bỏ rơi và hiện đang được hồi sinh. Nhưng góc của chúng ta là toán học, không phải triết học.

Thuộc về một cộng đồng cụ thể cũng có nghĩa là "các biểu tượng chung", các bài đọc, câu nói và ngụ ngôn chung. Người học hoàn hảo tiếng Ba Lan “có một bụi rậm lớn ở Szczebrzeszyn, một con bọ cánh cứng đang vo ve trong đám lau sậy” sẽ ngay lập tức bị coi là gián điệp của ngoại bang nếu anh ta không trả lời câu hỏi chim gõ kiến ​​đang làm gì. Tất nhiên là anh ấy nghẹt thở!

Đây không chỉ là một trò đùa. Vào tháng 1944 năm XNUMX, quân Đức mở cuộc tấn công cuối cùng ở Ardennes với một chi phí lớn. Họ huy động những người lính nói thông thạo tiếng Anh để làm gián đoạn sự di chuyển của quân đồng minh, chẳng hạn bằng cách dẫn họ đi sai hướng ở các ngã tư. Sau một lúc ngạc nhiên, người Mỹ bắt đầu hỏi những người lính những câu hỏi đáng ngờ, câu trả lời sẽ hiển nhiên đối với một người đến từ Texas, Nebraska hoặc Georgia và không thể tưởng tượng được đối với một người không lớn lên ở đó. Sự thiếu hiểu biết về thực tế đã trực tiếp dẫn đến việc hành quyết.

Đến điểm. Tôi giới thiệu với độc giả cuốn sách của Lukasz Badowski và Zaslaw Adamashek "Phòng thí nghiệm trong ngăn bàn - Toán học". Đây là một cuốn sách tuyệt vời chỉ ra một cách xuất sắc rằng toán học thực sự hữu ích cho một thứ gì đó và "thí nghiệm toán học" không phải là những từ trống rỗng. Nó bao gồm, trong số những thứ khác, cấu trúc được mô tả của "bí ẩn bìa cứng" - một thiết bị mà chúng ta chỉ mất mười lăm phút để tạo ra và hoạt động giống như một máy mật mã nghiêm túc. Bản thân ý tưởng này đã quá nổi tiếng, các tác giả được đề cập đã giải quyết nó rất hay, và tôi sẽ thay đổi nó một chút và bọc nó trong lớp áo toán học hơn.

cưa sắt

Trên một trong những con đường của ngôi làng dacha của tôi ở ngoại ô Warsaw, vỉa hè gần đây đã được tháo dỡ khỏi “trlinka” - những tấm lát hình lục giác. Chuyến đi không thoải mái, nhưng tâm hồn của nhà toán học lại vui vẻ. Việc bao phủ mặt phẳng bằng các đa giác thông thường (tức là thông thường) là không dễ dàng. Nó chỉ có thể là hình tam giác, hình vuông và hình lục giác đều.

Có thể tôi nói đùa một chút với niềm vui tinh thần này, nhưng hình lục giác là một hình tượng đẹp. Từ nó, bạn có thể tạo một thiết bị mã hóa khá thành công. Hình học sẽ hữu ích. Hình lục giác có đối xứng quay - nó tự chồng lên nhau khi xoay bội số của 60 độ. Ví dụ, trường được đánh dấu bằng chữ A ở phía trên bên trái quả sung. 1 sau khi quay qua góc này thì nó cũng rơi vào ô A - và các chữ cái khác cũng vậy. Vì vậy, hãy cắt sáu ô vuông khỏi lưới, mỗi ô có một chữ cái khác nhau. Chúng tôi đặt lưới thu được theo cách này trên một tờ giấy. Trong sáu trường miễn phí, hãy nhập sáu chữ cái của văn bản mà chúng tôi muốn mã hóa. Hãy xoay tấm 60 độ. Sáu trường mới sẽ xuất hiện - hãy nhập sáu chữ cái tiếp theo trong tin nhắn của chúng tôi.

Cơm. 1. Trlinks niềm vui của toán học.

Bên phải quả sung. 1 chúng tôi có một văn bản được mã hóa theo cách này: "Có một đầu máy hơi nước nặng rất lớn ở nhà ga."

Bây giờ một môn toán học nhỏ sẽ có ích. Có bao nhiêu cách sắp xếp hai số tương đối với nhau?

Thật là một câu hỏi ngu ngốc? Đối với hai: hoặc một ở phía trước hoặc khác.

Tốt. Và ba số?

Cũng không khó để liệt kê tất cả các cài đặt:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Chà, nó dành cho bốn người! Nó vẫn có thể được viết rõ ràng. Đoán quy tắc đặt hàng tôi đưa vào:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Khi các chữ số là năm, chúng tôi nhận được 120 cài đặt có thể. Hãy gọi cho họ hoán vị. Số các hoán vị có thể có của n số là tích 1 2 3 ... n, gọi là mạnh mẽ và được đánh dấu bằng dấu chấm than: 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120. Với số 6 tiếp theo ta có 6! = 720. Chúng tôi sẽ sử dụng điều này để làm cho lá chắn mật mã lục giác của chúng tôi phức tạp hơn.

Chúng tôi chọn một hoán vị của các số từ 0 đến 5, ví dụ 351042. Đĩa xáo trộn hình lục giác của chúng tôi có một dấu gạch ngang trong trường ở giữa - để nó có thể được đặt "ở vị trí số 1" - một dấu gạch ngang lên, như trong hình. 60. Chúng tôi đặt đĩa theo cách này trên một tờ giấy, trên đó chúng tôi phải viết báo cáo của mình, nhưng chúng tôi không viết ngay mà xoay nó ba lần một góc 180 độ (tức là 60 độ) và nhập sáu chữ cái vào. các trường trống. Chúng tôi trở lại vị trí bắt đầu. Chúng tôi xoay mặt số năm lần một góc 60 độ, tức là bằng năm "răng" của mặt số. Chúng tôi in. Vị trí tỷ lệ tiếp theo là vị trí được xoay 0 độ xung quanh số không. Vị trí thứ tư là XNUMX độ, đây là vị trí bắt đầu.

Bạn có hiểu chuyện gì đã xảy ra không? Chúng tôi có thêm một cơ hội - để làm phức tạp "cỗ máy" của chúng tôi hơn bảy trăm lần! Vì vậy, chúng ta có hai vị trí độc lập của "automaton" - lựa chọn lưới và lựa chọn hoán vị. Lưới có thể được chọn theo 66 = 46656 cách, hoán vị 720. Điều này cho 33592320 khả năng. Hơn 33 triệu mật mã! Hầu như ít hơn một chút, bởi vì một số lưới không thể được cắt ra khỏi giấy.

Ở phần dưới quả sung. 1 chúng tôi có một thông điệp được mã hóa như sau: "Tôi gửi cho các bạn bốn sư đoàn nhảy dù." Có thể hiểu đơn giản rằng đối phương không được phép biết về điều này. Nhưng liệu anh ta có hiểu được điều này không:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

ngay cả với chữ ký 351042?

Chúng tôi đang chế tạo Enigma, một cỗ máy mật mã của Đức

Cơm. 2. Một ví dụ về thiết lập ban đầu của máy mã hóa của chúng tôi.

Hoán vị (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Như tôi đã đề cập, tôi có ý tưởng tạo ra một chiếc máy bìa cứng như vậy từ cuốn sách "Phòng thí nghiệm trong ngăn kéo - Toán học". “Công trình” của tôi hơi khác so với công trình của các tác giả.

Máy mật mã được người Đức sử dụng trong chiến tranh có nguyên tắc đơn giản một cách khéo léo, hơi giống với nguyên lý mà chúng ta đã thấy với máy mật mã hex. Mọi lần đều giống nhau: ngắt bài tập khó của một lá thư này sang một lá thư khác. Nó phải được thay thế. Làm thế nào để làm điều đó để kiểm soát nó?

Chúng ta hãy chọn không phải bất kỳ hoán vị nào, mà là hoán vị có chu kỳ dài 2. Nói một cách đơn giản, một cái gì đó giống như "Gaderipoluk" được mô tả ở đây vài tháng trước, nhưng bao gồm tất cả các chữ cái trong bảng chữ cái. Hãy thống nhất 24 chữ cái - không có ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Có bao nhiêu hoán vị như vậy? Đây là một nhiệm vụ dành cho học sinh tốt nghiệp trung học (họ sẽ có thể giải quyết nó ngay lập tức). Bao nhiêu? Rất nhiều? Vài ngàn? Đúng:

1912098225024001185793365052108800000000 (thậm chí đừng cố đọc con số này). Có rất nhiều khả năng để thiết lập vị trí "không". Và nó có thể khó khăn.

Máy của chúng tôi bao gồm hai đĩa tròn. Trên một trong số chúng, vẫn còn đứng, các chữ cái được viết. Nó hơi giống như mặt số của một chiếc điện thoại cũ, nơi bạn quay một số bằng cách xoay toàn bộ mặt số. Rotary là thứ hai với một bảng màu. Cách đơn giản nhất là đặt chúng vào một nút chai thông thường bằng cách sử dụng ghim. Thay vì nút chai, bạn có thể sử dụng bảng mỏng hoặc bìa cứng dày. Lukasz Badowski và Zasław Adamaszek khuyên bạn nên đặt cả hai đĩa vào hộp CD.

Hãy tưởng tượng chúng ta muốn mã hóa từ ARMATY (Cơm. 2 và 3). Đặt thiết bị về vị trí XNUMX (mũi tên lên). Chữ A tương ứng với chữ F. Xoay mạch điện bên trong sang phải một chữ cái. Chúng ta có chữ R để mã hóa, bây giờ nó tương ứng với A. Sau lần quay tiếp theo, chúng ta thấy chữ M tương ứng với U. Vòng quay tiếp theo (sơ đồ thứ tư) cho tương ứng A - P. Ở lần quay thứ năm, chúng ta có T - A. Cuối cùng (vòng tròn thứ sáu ) Y – Y Kẻ thù có thể sẽ không đoán được rằng CFCFA của chúng ta sẽ gây nguy hiểm cho hắn. Và “của chúng ta” sẽ đọc công văn như thế nào? Chúng phải có cùng một máy, cùng được "lập trình", tức là có cùng hoán vị. Mật mã bắt đầu ở vị trí số không. Vậy giá trị của F là A. Quay kim đồng hồ theo chiều kim đồng hồ. Chữ A bây giờ được liên kết với R. Anh ta xoay mặt số sang phải và dưới chữ U tìm thấy M, v.v.

Cơm. 3. Nguyên lý hoạt động của Enigma giấy của chúng tôi.

Cơm. 3. Nguyên lý hoạt động của Enigma giấy của chúng tôi.

Khả năng của một Enigma nguyên thủy như vậy thật đáng kinh ngạc. Chúng ta có thể chọn các hoán vị đầu ra khác. Chúng ta có thể - và thậm chí còn có nhiều cơ hội hơn ở đây - không phải theo một “serif” thường xuyên, mà theo một thứ tự nhất định, thay đổi hàng ngày, tương tự như một hình lục giác (ví dụ: ba chữ cái đầu tiên, sau đó là bảy, rồi tám, bốn ... .. v.v.).

Làm thế nào bạn có thể đoán ?! Chưa hết đối với các nhà toán học Ba Lan (Marian Reevski, Henryk Zigalski, Jerzy Ruzicki) đã xảy ra. Do đó, thông tin thu được là vô giá. Trước đó, họ đã có đóng góp quan trọng không kém vào lịch sử bảo vệ Tổ quốc của chúng ta. Vaclav Serpinski i Stanislav Mazurkevichngười đã vi phạm quy tắc của quân đội Nga vào năm 1920. Sợi dây cáp bị chặn đã tạo cơ hội cho Piłsudski thực hiện cú cơ động nổi tiếng từ sông Vepsz.

Tôi nhớ Vaslav Sierpinski (1882-1969). Anh ta dường như là một nhà toán học mà thế giới bên ngoài không tồn tại. Ông không thể nói về việc ông tham gia vào chiến thắng năm 1920 cả vì lý do quân sự và ... vì lý do chính trị (chính quyền Cộng hòa Nhân dân Ba Lan không thích những người bảo vệ chúng tôi khỏi Liên Xô).

Cơm. 4. Hoán vị (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Cơm. 5. Trang trí đẹp, nhưng không thích hợp để mã hóa. Quá thường xuyên.

Nhiệm vụ 1. Na quả sung. 4 bạn có một hoán vị khác để tạo ra Enigma. Sao chép bản vẽ vào xerograph. Xây dựng một chiếc xe hơi, đánh mã họ và tên của bạn. CWONUE JTRYGT của tôi. Nếu bạn cần giữ các ghi chú của mình ở chế độ riêng tư, hãy sử dụng Cardboard Enigma.

Nhiệm vụ 2. Mã hóa tên và họ của bạn về một trong những "chiếc xe" mà bạn đã thấy, nhưng (chú ý!) với một sự phức tạp bổ sung: chúng tôi không rẽ phải một bậc mà theo sơ đồ {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ....} - nghĩa là, đầu tiên là 2, sau đó là 1, rồi 2, rồi XNUMX, rồi lại XNUMX, rồi XNUMX, v.v., một “wavelet” như vậy . Đảm bảo họ và tên của tôi được mã hóa thành CZTTAK SDBITH. Bây giờ thì bạn đã hiểu cỗ máy Enigma mạnh mẽ như thế nào chưa?

Giải quyết vấn đề cho học sinh tốt nghiệp trung học phổ thông. Có bao nhiêu tùy chọn cấu hình cho Enigma (trong phiên bản này, như được mô tả trong bài viết)? Chúng tôi có 24 chữ cái. Chúng tôi chọn cặp chữ cái đầu tiên - điều này có thể được thực hiện trên

các cách. Cặp tiếp theo có thể được chọn vào

nhiều cách, hơn thế nữa

Vân vân. Sau khi các phép tính tương ứng (tất cả các số phải được nhân), chúng tôi nhận được

151476660579404160000

Sau đó chia số đó cho 12! (12 giai thừa), bởi vì các cặp giống nhau có thể được lấy theo một thứ tự khác. Vì vậy, cuối cùng chúng tôi nhận được "tổng số"

316234143225,

đó chỉ là hơn 300 tỷ, có vẻ không phải là một con số lớn đáng kinh ngạc đối với các siêu máy tính ngày nay. Tuy nhiên, nếu tính đến thứ tự ngẫu nhiên của các hoán vị thì con số này tăng lên đáng kể. Chúng ta cũng có thể nghĩ đến các kiểu hoán vị khác.

Xem thêm: