SO TO WHO, nghĩa là: THỬ NƠI BẠN CÓ THỂ - phần 2

Trong tập trước, chúng ta đã giải quyết Sudoku, một trò chơi số học, trong đó các con số về cơ bản được sắp xếp trong các sơ đồ khác nhau theo các quy tắc nhất định. Biến thể phổ biến nhất là bàn cờ 9 × 9, cũng được chia thành chín ô 3 × 3. Các số từ 1 đến 9 phải được đặt trên đó để chúng không lặp lại theo hàng dọc (các nhà toán học nói: trong một cột) hoặc trong một hàng ngang (các nhà toán học nói: trong một hàng) - và hơn nữa, sao cho họ không lặp lại. lặp lại trong bất kỳ ô vuông nhỏ hơn nào.

Na quả sung. 1 chúng tôi thấy câu đố này trong một phiên bản đơn giản hơn, đó là một hình vuông 6 × 6 được chia thành các hình chữ nhật 2 × 3. Chúng tôi chèn các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 vào đó - để chúng không lặp lại theo chiều dọc, cũng không theo chiều ngang, cũng không phải trong mỗi hình lục giác đã chọn.

Hãy thử hiển thị trong hình vuông trên cùng. Bạn có thể điền vào đó các số từ 1 đến 6 theo luật đặt ra cho trò chơi này không? Có thể - nhưng mơ hồ. Hãy xem - vẽ một hình vuông bên trái hoặc một hình vuông bên phải.

Chúng ta có thể nói rằng đây không phải là cơ sở cho câu đố. Chúng ta thường cho rằng một câu đố có một lời giải. Nhiệm vụ tìm kiếm các căn cứ địa khác nhau cho Sudoku “khủng” 9x9 là một nhiệm vụ khó khăn và không có cơ hội giải quyết triệt để.

Một kết nối quan trọng khác là hệ thống mâu thuẫn. Không thể hoàn thành ô vuông ở giữa phía dưới (ô có số 2 ở góc dưới cùng bên phải). Tại sao?

Vui vẻ và tĩnh tâm

Chúng tôi chơi tiếp. Hãy sử dụng trực giác của trẻ em. Họ tin rằng giải trí là một phần mở đầu cho việc học. Hãy đi vào không gian. Bật nó lên quả sung. 2 mọi người đều nhìn thấy lưới điện tứ diệntừ quả bóng, ví dụ, quả bóng bàn? Nhắc lại các bài học hình học ở trường. Màu sắc ở phía bên trái của bức tranh giải thích những gì nó được dán vào khi lắp ráp khối. Đặc biệt, ba quả bóng ở góc (màu đỏ) sẽ được dán vào một. Do đó, chúng phải cùng một số. Có lẽ 9. Tại sao? Và tại sao không?

Ồ, tôi đã không diễn đạt nó nhiệm vụ. Nghe có vẻ như thế này: có thể ghi các số từ 0 đến 9 trong lưới hiển thị để mỗi mặt chứa tất cả các số không? Nhiệm vụ không khó, nhưng bạn cần phải hình dung! Tôi sẽ không làm hỏng niềm vui của độc giả và sẽ không đưa ra giải pháp.

Đây là một hình dạng rất đẹp và bị đánh giá thấp. bát diện đều, được xây dựng từ hai hình chóp (= kim tự tháp) có đáy là hình vuông. Như tên cho thấy, hình bát diện có tám mặt.

Có sáu đỉnh trong một hình bát diện. Nó mâu thuẫn khối lập phươngcó sáu mặt và tám đỉnh. Các cạnh của cả hai cục đều giống nhau - mười hai cục. Cái này chất rắn kép - điều này có nghĩa là bằng cách nối tâm của các mặt của khối lập phương, chúng ta có được một khối bát diện và tâm của các mặt của khối bát diện sẽ cho chúng ta một khối lập phương. Cả hai vết sưng này đều hoạt động ("bởi vì chúng phải") Công thức của Euler: Tổng của số đỉnh và số mặt hơn số cạnh là 2.

3. Một khối bát diện đều trong hình chiếu song song và một mạng tinh thể bát diện gồm các mặt cầu sao cho mỗi cạnh có XNUMX mặt cầu.

Nhiệm vụ 1. Đầu tiên, hãy viết ra câu cuối cùng của đoạn văn trước bằng công thức toán học. Trên quả sung. 3 bạn thấy một lưới hình bát diện, cũng được tạo thành từ các hình cầu. Mỗi cạnh có bốn quả bóng. Mỗi mặt là một tam giác gồm mười quả cầu. Vấn đề được đặt ra một cách độc lập: liệu có thể xếp các số từ 0 đến 9 vào các ô tròn của ô vuông để sau khi dán một thân rắn, mỗi bức tường chứa tất cả các số (theo đó mà không lặp lại). Như trước đây, khó khăn lớn nhất trong nhiệm vụ này là làm thế nào để biến lưới thành một cơ thể rắn. Tôi không thể giải thích nó bằng văn bản, vì vậy tôi cũng không đưa ra giải pháp ở đây.

4. Hai khối lập phương từ quả bóng bàn. Chú ý cách phối màu khác nhau.

đã Plato (và ông sống ở thế kỷ XNUMX-XNUMX trước Công nguyên) biết tất cả các khối đa diện đều: tứ diện, lập phương, bát diện, khối mười hai mặt i icosahedron. Thật đáng kinh ngạc khi anh ấy đến đó - không bút chì, không giấy, không bút, không sách, không điện thoại thông minh, không internet! Tôi sẽ không nói về khối mười hai mặt ở đây. Nhưng sudoku icosahedral rất thú vị. Chúng tôi thấy khối u này trên minh họa 4và mạng của nó Hình 5.

5. Lưới thông thường của khối icosahedron.

Như trước đây, đây không phải là lưới theo nghĩa mà chúng ta nhớ (?!) Từ thời đi học, mà là một cách dán các hình tam giác từ các quả bóng (bóng).

Nhiệm vụ 2. Cần bao nhiêu quả bóng để xây dựng một khối lập phương như vậy? Suy luận sau đây có còn đúng không: vì mỗi mặt là một tam giác, nếu có 20 mặt thì cần có bao nhiêu 60 hình cầu?

6. Lưới của một icosahedron từ các hình cầu. Ví dụ, mỗi vòng tròn là một quả bóng bàn, nhưng cấu tạo của các vòng tròn trên các vòng tròn được đánh dấu cùng màu sẽ hợp nhất thành một. Vì vậy, chúng tôi có mười hai hình cầu (= mười hai đỉnh: đỏ, xanh lam, tím, xanh lam và tám màu vàng).

Dễ dàng nhận thấy rằng ba con số trong khối lập phương là không đủ. Chính xác hơn: không thể liệt kê các đỉnh bằng các số 1, 2, 3 sao cho mỗi mặt (tam giác) đều có ba số này và không có lần lặp lại. Có thể với bốn con số? Có nó là có thể! Chúng ta hãy nhìn vào Cơm. 6 và 7.

7. Đây là cách đánh số các hình cầu tạo nên khối icosahedron sao cho mỗi mặt chứa các số khác với 1, 2, 3, 4. Hình nào trong số các hình trong hình. 4 có màu như thế này?

Nhiệm vụ 3. Ba trong bốn số có thể được chọn theo bốn cách: 123, 124, 134, 234. Tìm năm hình tam giác như vậy trong hình tứ diện trong hình. 7 (cũng như từ hình minh họa 4).

Nhiệm vụ 4 (đòi hỏi trí tưởng tượng không gian rất tốt). Hình icosahedron có mười hai đỉnh, có nghĩa là nó có thể được dán lại với nhau từ mười hai quả bóng (quả sung. 7). Lưu ý rằng có ba đỉnh (= quả bóng) được gắn nhãn là 1, ba với 2, v.v. Do đó, các quả bóng cùng màu tạo thành một hình tam giác. Tam giác này là gì? Có thể là cạnh đều? Nhìn lại hình minh họa 4.

Nhiệm vụ tiếp theo cho ông / bà và cháu trai / cháu gái. Cuối cùng bố mẹ cũng có thể thử sức với con nhưng cần kiên nhẫn và thời gian.

Nhiệm vụ 5. Mua mười hai (tốt nhất là 24) quả bóng bàn, bốn màu sơn, bút lông và keo dán phù hợp - Tôi không khuyên bạn nên mua những loại nhanh như Superglue hoặc Droplet vì chúng khô quá nhanh và nguy hiểm cho trẻ em. Keo dán trên các icosahedron. Mặc cho cháu gái của bạn một chiếc áo phông sẽ được giặt (hoặc vứt đi) ngay sau đó. Che mặt bàn bằng giấy bạc (tốt nhất là dùng báo). Hãy tô màu cẩn thận cho khối icosahedron với bốn màu 1, 2, 3, 4, như trong hình. quả sung. 7. Bạn có thể thay đổi thứ tự - đầu tiên tô màu bóng bay và sau đó dán chúng. Đồng thời, phải để nguyên những hình tròn nhỏ li ti để sơn không bị dính vào sơn.

Bây giờ là nhiệm vụ khó khăn nhất (chính xác hơn là toàn bộ chuỗi của chúng).

Nhiệm vụ 6 (Cụ thể hơn là chủ đề chung). Vẽ đồ thị của khối icosahedron là một khối tứ diện và một khối bát diện trên Cơm. 2 và 3 Điều này có nghĩa là nên có bốn quả bóng trên mỗi cạnh. Trong biến thể này, nhiệm vụ vừa tốn thời gian và thậm chí tốn kém. Hãy bắt đầu bằng cách tìm xem bạn cần bao nhiêu quả bóng. Mỗi mặt có mười mặt cầu, vậy khối hai mặt cần hai trăm? KHÔNG! Chúng ta phải nhớ rằng nhiều quả bóng được chia sẻ. Một icosahedron có bao nhiêu cạnh? Nó có thể được tính toán tỉ mỉ, nhưng công thức Euler để làm gì?

w – k + s = 2

trong đó w, k, s lần lượt là số đỉnh, cạnh và mặt. Chúng ta nhớ rằng w = 12, s = 20, nghĩa là k = 30. Chúng ta có 30 cạnh của khối icosahedron. Bạn có thể làm điều đó theo cách khác, bởi vì nếu có 20 hình tam giác, thì chúng chỉ có 60 cạnh, nhưng hai trong số chúng là chung.

Hãy tính xem bạn cần bao nhiêu quả bóng. Trong mỗi tam giác chỉ có một quả bóng bên trong - không ở trên cùng của cơ thể chúng ta, cũng không phải ở cạnh. Như vậy, chúng ta có tổng cộng 20 quả bóng như vậy. Có 12 cực đại. Mỗi cạnh có hai quả bóng không đỉnh (chúng nằm bên trong cạnh, nhưng không nằm bên trong mặt). Vì có 30 cạnh nên có 60 viên bi, nhưng hai trong số đó được dùng chung, tức là bạn chỉ cần 30 viên bi nên bạn cần có tổng là 20 + 12 + 30 = 62 viên bi. Quả bóng có thể được mua với giá ít nhất 50 xu (thường đắt hơn). Nếu tính thêm chi phí dán keo thì nó sẽ ra ... rất nhiều. Mối liên kết tốt đòi hỏi nhiều giờ làm việc chăm chỉ. Chúng kết hợp với nhau rất thích hợp cho một trò tiêu khiển thư giãn - tôi khuyên bạn nên sử dụng chúng thay vì xem TV chẳng hạn.

Rút lui 1. Trong loạt phim Years, Days của Andrzej Wajda, hai người đàn ông chơi cờ "vì họ phải bằng cách nào đó cho đến bữa tối." Nó diễn ra ở Galician Krakow. Thật vậy: báo chí đã được đọc (khi đó có 4 trang), TV và điện thoại vẫn chưa được phát minh, không có các trận bóng đá. Chán trong vũng nước. Trong tình huống như vậy, mọi người nghĩ ra cách giải trí cho chính mình. Hôm nay chúng tôi có chúng sau khi nhấn điều khiển từ xa ...

Rút lui 2. Tại cuộc họp năm 2019 của Hiệp hội Giáo viên Toán học, một giáo sư người Tây Ban Nha đã trình diễn một chương trình máy tính có thể sơn những bức tường rắn bằng bất kỳ màu nào. Nó hơi rùng rợn, vì họ chỉ vẽ tay, gần như cắt lìa cơ thể. Tôi tự nghĩ: bạn có thể nhận được bao nhiêu niềm vui từ một "bóng râm" như vậy? Mọi thứ mất hai phút và đến ngày thứ tư, chúng tôi không nhớ gì cả. Trong khi đó, “khâu vá” kiểu cũ giúp xoa dịu và giáo dục. Ai không tin thì để người ấy thử.

Hãy quay trở lại thế kỷ XNUMX và thực tế của chúng ta. Nếu chúng ta không muốn thư giãn bằng hình thức dán các quả bóng tốn nhiều công sức, thì chúng ta sẽ vẽ ít nhất một lưới của một khối hình icosahedron, các cạnh của chúng có bốn quả bóng. Làm thế nào để làm nó? Chặt nó đúng Hình 6. Người đọc chăm chú đã đoán được vấn đề:

Nhiệm vụ 7. Có thể liệt kê các quả bóng có các số từ 0 đến 9 để tất cả các số này xuất hiện trên mỗi mặt của một khối tứ diện như vậy không?

Chúng ta đang được trả tiền để làm gì?

Ngày nay chúng ta thường tự đặt câu hỏi về mục đích hoạt động của mình, và "người đóng thuế xám" sẽ hỏi tại sao anh ta phải trả tiền cho các nhà toán học để giải những câu đố như vậy?

Câu trả lời là khá đơn giản. Những "câu đố" như vậy, tự bản thân nó thú vị, là "một mảnh ghép của một cái gì đó nghiêm trọng hơn." Rốt cuộc, các cuộc diễu hành quân sự chỉ là một phần bên ngoài, ngoạn mục của một dịch vụ khó khăn. Tôi sẽ chỉ đưa ra một ví dụ, nhưng tôi sẽ bắt đầu với một chủ đề toán học kỳ lạ nhưng được quốc tế công nhận. Vào năm 1852, một sinh viên người Anh đã hỏi giáo sư của mình rằng liệu có thể tô màu bản đồ với bốn màu để các nước láng giềng luôn được thể hiện bằng các màu khác nhau không? Tôi xin nói thêm rằng chúng tôi không coi những "láng giềng" chỉ gặp nhau ở một điểm, chẳng hạn như các bang Wyoming và Utah của Hoa Kỳ. Giáo sư không biết ... và vấn đề đã được chờ đợi một giải pháp trong hơn một trăm năm.

8. Icosahedron từ các khối RECO. Các tấm phản xạ chớp nhoáng cho thấy những điểm chung của hình tứ diện với hình tam giác và hình ngũ giác. Năm tam giác hội tụ tại mỗi đỉnh.

Nó đã xảy ra một cách bất ngờ. Năm 1976, một nhóm các nhà toán học người Mỹ đã viết một chương trình để giải quyết vấn đề này (và họ quyết định: vâng, bốn màu sẽ luôn là đủ). Đây là bằng chứng đầu tiên về một thực tế toán học có được với sự trợ giúp của một "cỗ máy toán học" - như một chiếc máy tính đã được gọi là nửa thế kỷ trước (và thậm chí còn sớm hơn: "bộ não điện tử").

Đây là một “bản đồ Châu Âu” được hiển thị đặc biệt (quả sung. 9). Những quốc gia có đường biên giới chung được kết nối với nhau. Tô màu bản đồ cũng giống như tô màu các vòng tròn của biểu đồ này (được gọi là biểu đồ) để không có vòng tròn nối nào có cùng màu. Nhìn vào Liechtenstein, Bỉ, Pháp và Đức cho thấy XNUMX màu áo là chưa đủ. Nếu bạn muốn, Reader, hãy tô màu nó với bốn màu.

9. Ai giáp với ai ở Châu Âu?

Vâng, có, nhưng nó có đáng giá tiền của người đóng thuế? Vì vậy, chúng ta hãy nhìn vào cùng một biểu đồ khác nhau một chút. Quên rằng có các tiểu bang và biên giới. Hãy để các vòng tròn tượng trưng cho các gói thông tin được gửi từ điểm này đến điểm khác (ví dụ: từ P đến EST) và các phân đoạn đại diện cho các kết nối có thể có, mỗi gói có băng thông riêng. Gửi càng sớm càng tốt?

Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét một tình huống rất đơn giản, nhưng cũng rất thú vị từ quan điểm toán học. Chúng ta phải gửi một thứ gì đó từ điểm S (= khi bắt đầu) đến điểm M (= kết thúc) bằng cách sử dụng một mạng kết nối có cùng băng thông, giả sử 1. Chúng ta thấy điều này trong quả sung. 10.

10. Mạng kết nối từ Statsyika Zdrój đến Megapolis.

Hãy tưởng tượng rằng khoảng 89 bit thông tin cần được gửi từ S đến M. Tác giả của những dòng chữ này thích những vấn đề về xe lửa, vì vậy anh ta tưởng tượng rằng anh ta là một người quản lý tại Stacie Zdrój, nơi anh ta phải gửi 144 toa xe. đến ga đô thị. Tại sao chính xác là 144? Bởi vì, như chúng ta sẽ thấy, điều này sẽ được sử dụng để tính toán thông lượng của toàn bộ mạng. Sức chứa là 1 trong mỗi lô, tức là một chiếc xe có thể trôi qua trên một đơn vị thời gian (một bit thông tin, có thể là Gigabyte).

Hãy chắc chắn rằng tất cả các ô tô gặp nhau tại cùng một thời điểm M. Mọi người đều đến đó trong 89 đơn vị thời gian. Nếu tôi có một gói thông tin rất quan trọng từ S đến M cần gửi, tôi chia nó thành các nhóm 144 đơn vị và đẩy nó qua như trên. Toán học đảm bảo rằng điều này sẽ là nhanh nhất. Làm thế nào tôi biết rằng bạn cần 89? Tôi thực sự đã đoán, nhưng nếu tôi không đoán, tôi sẽ phải tìm ra Phương trình Kirchhoff (có ai nhớ không? - đây là các phương trình mô tả dòng điện). Băng thông mạng là 184/89, xấp xỉ bằng 1,62.

Về niềm vui

Nhân tiện, tôi thích số 144. Tôi thích đi xe buýt với số này đến Quảng trường Lâu đài ở Warsaw - khi không có Lâu đài Hoàng gia nào được trùng tu bên cạnh nó. Có lẽ các độc giả trẻ biết một tá là gì. Đó là 12 bản, nhưng chỉ những độc giả lớn tuổi mới nhớ rằng một tá, tức là. 122 = 144, đây là cái gọi là lô. Và tất cả những ai biết toán nhiều hơn một chút so với chương trình học ở trường sẽ hiểu ngay rằng quả sung. 10 chúng tôi có số Fibonacci và băng thông mạng gần với "số vàng"

Trong dãy Fibonacci, 144 là số duy nhất là một hình vuông hoàn hảo. Một trăm bốn mươi tư cũng là một "con số đáng mừng." Đó là cách một nhà toán học nghiệp dư người Ấn Độ Dattatreya Ramachandra Caprecar năm 1955, ông đặt tên cho các số chia hết cho tổng các chữ số cấu thành của chúng:

Nếu anh ấy biết điều đó Adam Mickiewicz, chắc chắn anh ấy sẽ viết không bằng Dzyady: “Từ một người mẹ kỳ lạ; máu của anh ấy là những anh hùng cũ của anh ấy / Và tên anh ấy là bốn mươi bốn, chỉ thanh lịch hơn: Và tên anh ấy là một trăm bốn mươi tư.

Hãy giải trí một cách nghiêm túc

Tôi hy vọng tôi đã thuyết phục được độc giả rằng câu đố Sudoku là khía cạnh thú vị của những câu hỏi chắc chắn đáng được xem xét một cách nghiêm túc. Tôi không thể phát triển chủ đề này thêm nữa. Ồ, tính toán băng thông mạng đầy đủ từ sơ đồ được cung cấp trên quả sung. 9 viết một hệ phương trình sẽ mất hai giờ trở lên - thậm chí có thể mất hàng chục giây (!) Công việc của máy tính.