Lem, Tokarchuk, Krakow, toán học

Vào ngày 3-7 tháng 2019 năm 1, đại hội kỷ niệm của Hội Toán học Ba Lan đã diễn ra tại Krakow. Kỷ niệm 1919 năm ngày thành lập Hội. Nó tồn tại ở Galicia từ những năm đầu tiên (không có tính từ rằng chủ nghĩa tự do Ba Lan của hoàng đế FJ1919 có giới hạn của nó), nhưng với tư cách là một tổ chức toàn quốc, nó chỉ hoạt động từ năm 1939. Những tiến bộ lớn trong toán học Ba Lan có từ những năm XNUMX-XNUMX năm XNUMX. XNUMX tại Đại học Jan Casimir ở Lviv, nhưng hội nghị không thể diễn ra ở đó – và đó cũng không phải là ý tưởng hay nhất.

Cuộc họp diễn ra rất lễ hội, có đầy đủ các sự kiện kèm theo (bao gồm cả buổi biểu diễn của Jacek Wojcicki tại lâu đài ở Niepolomice). Các bài giảng chính được cung cấp bởi 28 diễn giả. Họ nói tiếng Ba Lan vì những vị khách được mời là người Ba Lan - không nhất thiết phải hiểu theo nghĩa công dân, mà tự nhận mình là người Ba Lan. Ồ vâng, chỉ có mười ba giảng viên đến từ các tổ chức khoa học Ba Lan, mười lăm người còn lại đến từ Hoa Kỳ (7), Pháp (4), Anh (2), Đức (1) và Canada (1). Chà, đây là một hiện tượng nổi tiếng trong các giải bóng đá.

Tốt nhất liên tục biểu diễn ở nước ngoài. Hơi buồn nhưng tự do là tự do. Một số nhà toán học Ba Lan đã thực hiện sự nghiệp ở nước ngoài mà không thể đạt được ở Ba Lan. Tiền chỉ đóng vai trò thứ yếu ở đây, nhưng tôi không muốn viết về những chủ đề như vậy. Có lẽ chỉ là hai nhận xét.

Ở Nga, và trước đó ở Liên Xô, điều này đã và đang ở mức có ý thức nhất ... và bằng cách nào đó, không ai muốn di cư đến đó. Lần lượt, ở Đức, khoảng chục ứng viên nộp đơn xin học hàm giáo sư tại bất kỳ trường đại học nào (các đồng nghiệp từ Đại học Konstanz cho biết họ có 120 đơn đăng ký trong một năm, 50 trong số đó rất tốt và 20 ứng viên xuất sắc).

Một số bài giảng của Đại hội Năm Thánh có thể được tóm tắt trong nhật ký hàng tháng của chúng tôi. Các tiêu đề như "Giới hạn của đồ thị thưa thớt và ứng dụng của chúng" hoặc "Cấu trúc tuyến tính và hình học của không gian con và không gian nhân tố cho không gian chuẩn hóa chiều cao" sẽ không cho người đọc bình thường biết bất cứ điều gì. Chủ đề thứ hai được bạn tôi giới thiệu từ những khóa học đầu tiên, Nicole Tomchak.

Một vài năm trước, cô đã được đề cử cho thành tích được trình bày trong bài giảng này. Huy chương Fields là tương đương với các nhà toán học. Cho đến nay, chỉ có một người phụ nữ đã nhận được giải thưởng này. Cũng đáng chú ý là bài giảng Anna Marcinyak-Chohra (Đại học Heidelberg) "Vai trò của các mô hình toán học cơ học trong y học đối với ví dụ về mô hình bệnh bạch cầu".

nhập thuốc. Tại Đại học Warsaw, một nhóm do GS. Jerzy Tyurin.

Tiêu đề của bài giảng sẽ không thể hiểu được đối với Người đọc Veslava Niziol (Trường sư phạm cao hơn z uyowej) “lý thuyết -adic của Hodge". Tuy nhiên, đó là bài giảng này mà tôi đã quyết định thảo luận ở đây.

Geometry -adic world

Nó bắt đầu với những điều đơn giản nhỏ. Bạn có nhớ phương pháp trao đổi bằng văn bản không? Chắc chắn. Nhớ lại những năm tháng tiểu học vô tư lự. Chia 125051 cho 23 (đây là hành động ở bên trái). Bạn có biết rằng nó có thể khác (hành động ở bên phải)?

Phương pháp mới này thật thú vị. Tôi sẽ đi từ cuối. Ta cần chia 125051 cho 23. Ta cần nhân 23 với bao nhiêu để chữ số tận cùng là 1? Tìm kiếm trong bộ nhớ và chúng tôi có :=7. Chữ số cuối cùng của kết quả là 7. Nhân, trừ, ta được 489. Làm thế nào để nhân 23 với kết quả là 9? Tất nhiên, bằng 3. Chúng tôi đạt đến điểm mà chúng tôi xác định tất cả các số của kết quả. Chúng tôi thấy nó không thực tế và khó hơn so với phương pháp thông thường của chúng tôi - nhưng đó là vấn đề thực hành!

Mọi chuyện rẽ sang một hướng khác khi chàng trai dũng cảm không bị chia hết cho số chia. Hãy thực hiện phép chia và xem điều gì sẽ xảy ra.

Bên trái là một trường học điển hình. Bên phải là "những người kỳ lạ của chúng ta".

Chúng ta có thể kiểm tra cả hai kết quả bằng cách nhân lên. Chúng ta hiểu điều thứ nhất: một phần ba của số 4675 là một nghìn năm trăm năm mươi tám, và ba trong khoảng thời gian. Điều thứ hai không có ý nghĩa: số này đứng trước một số vô hạn là sáu và sau đó là 8225?

Chúng ta hãy để câu hỏi về ý nghĩa trong giây lát. Hãy chơi. Vì vậy, chúng ta hãy chia 1 cho 3 và sau đó 1 cho 7 được một phần ba và một phần bảy. Chúng ta có thể dễ dàng nhận được:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Dòng cuối cùng này có nghĩa là: khối 285714 lặp lại vô thời hạn ở đầu, và cuối cùng có ba khối trong số đó. Đối với những người không tin, đây là một bài kiểm tra:

Bây giờ chúng ta hãy cộng các phân số:

Sau đó, chúng tôi thêm các số lạ đã nhận, và chúng tôi nhận được (kiểm tra) cùng một số lạ.

......95238095238095238095238010

Chúng tôi có thể kiểm tra xem điều này bằng

Ý chính vẫn chưa được nhìn thấy, nhưng số học là chính xác.

Thêm một ví dụ nữa.

Số 40081787109376 thông thường, mặc dù lớn, có một đặc tính thú vị: hình vuông của nó cũng kết thúc bằng 40081787109376. số x40081787109376, là (x40081787109376)² cũng kết thúc bằng x40081787109376.

Mẹo. Chúng tôi có 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, vì vậy chữ số tiếp theo là phần bù của ba đến mười, là 7. Hãy kiểm tra: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Câu hỏi tại sao lại như vậy là một câu hỏi khó. Nó dễ dàng hơn: tìm các kết thúc tương tự cho các số kết thúc bằng 5. Tiếp tục quá trình tìm các chữ số tiếp theo một cách vô hạn, chúng ta sẽ đến với các "số" như vậy ²=²= (và không có số nào trong số này bằng XNUMX hoặc một).

chúng tôi hiểu rõ. Càng xa dấu thập phân, số càng ít quan trọng. Trong tính toán kỹ thuật, chữ số đầu tiên sau dấu thập phân cũng quan trọng, cũng như chữ số thứ hai, nhưng trong nhiều trường hợp, có thể giả định rằng tỷ số giữa chu vi hình tròn với đường kính của nó là 3,14. Tất nhiên, cần có nhiều con số hơn nữa trong ngành hàng không, nhưng tôi không nghĩ sẽ có nhiều hơn mười.

Tên xuất hiện trong tiêu đề của bài báo Stanislav Lem (1921-2006), cũng như người đoạt giải Nobel mới của chúng tôi. người phụ nữ Olga Tokarchuk Tôi chỉ đề cập đến điều này bởi vì la hét bất côngThực tế là Stanislav Lem không nhận được giải Nobel Văn học. Nhưng nó không nằm trong góc của chúng tôi.

Lem thường thấy trước tương lai. Anh tự hỏi điều gì sẽ xảy ra khi chúng trở nên độc lập với con người. Dạo này xuất hiện bao nhiêu bộ phim về chủ đề này! Lem đã dự đoán và mô tả khá chính xác về máy đọc quang học và dược lý học của tương lai.

Anh ta biết toán học, mặc dù đôi khi anh ta coi nó như một vật trang trí, không quan tâm đến tính đúng đắn của các phép tính. Ví dụ, trong câu chuyện "Thử nghiệm", phi công Pirks đi vào quỹ đạo B68 với chu kỳ quay là 4 giờ 29 phút, và hướng dẫn là 4 giờ 26 phút. Anh nhớ rằng họ đã tính toán với sai số 0,3 phần trăm. Anh ta đưa dữ liệu cho Máy tính, và Máy tính trả lời rằng mọi thứ đều ổn ... Chà, không. Ba phần mười của 266 phút là ít hơn một phút. Nhưng lỗi này có thay đổi được gì không? Có lẽ nó đã được cố ý?

Tại sao tôi viết về điều này? Nhiều nhà toán học cũng đã đặt ra câu hỏi này: hãy tưởng tượng một cộng đồng. Họ không có tâm trí con người của chúng ta. Đối với chúng tôi, 1609,12134 và 1609,23245 là những con số rất gần - những con số gần đúng với dặm Anh. Tuy nhiên, máy tính có thể coi các số 468146123456123456 và 9999999123456123456 là gần nhau. Chúng có cùng mười hai chữ số cuối cùng.

Các chữ số phổ biến hơn ở cuối, các số càng gần nhau. Và điều này dẫn đến cái gọi là khoảng cách -adic. Đặt p bằng 10 trong chốc lát; tại sao chỉ “trong một thời gian”, tôi sẽ giải thích ... bây giờ. Khoảng cách 10 điểm của các số viết trên là 

hoặc một phần triệu - vì những số này có sáu chữ số chung ở cuối. Tất cả các số nguyên khác XNUMX một hoặc ít hơn. Tôi thậm chí sẽ không viết một mẫu vì nó không quan trọng. Càng nhiều số giống nhau ở cuối, các số càng gần nhau (ngược lại, đối với một người, các số ban đầu được xem xét). Điều quan trọng là p phải là số nguyên tố.

Sau đó - họ thích số 0100110001 và số 1010101101010101011001010101010101111, vì vậy họ thấy mọi thứ theo các mẫu sau: XNUMX XNUMX.

Trong cuốn tiểu thuyết Glos Pana, Stanisław Lem thuê các nhà khoa học để cố gắng đọc một thông điệp được gửi đến từ thế giới bên kia, tất nhiên được mã hóa là zero-one. Có ai viết thư cho chúng tôi không? Lem lập luận rằng "bất kỳ thông điệp nào cũng có thể đọc được nếu đó là thông điệp mà ai đó muốn nói với chúng ta điều gì đó." Nhưng nó là? Tôi sẽ để lại cho độc giả tình huống khó xử này.

Chúng ta đang sống trong không gian XNUMXD R³. Chữ cái R nhớ lại rằng các trục bao gồm các số thực, tức là số nguyên, âm và dương, số XNUMX, số hữu tỉ (tức là phân số) và số vô tỉ, mà độc giả đã gặp ở trường () và các số được gọi là số siêu việt, không thể truy cập được trong đại số (đây là số π , đã được kết nối đường kính của một vòng tròn với chu vi của nó trong hơn hai nghìn năm).

Điều gì sẽ xảy ra nếu các trục của không gian của chúng ta là các số -adic?

Jerzy Mioduszowski, một nhà toán học tại Đại học Silesia, lập luận rằng điều này có thể là như vậy, và thậm chí nó có thể là như vậy. Chúng ta có thể (Jerzy Mioduszewski nói) chiếm cùng một vị trí trong không gian với những sinh vật như vậy, không gây nhiễu và không nhìn thấy nhau.

Vì vậy, chúng tôi có tất cả hình học của thế giới "của họ" để khám phá. Không chắc rằng “họ” cũng nghĩ như vậy về chúng ta và cũng nghiên cứu hình học của chúng ta, bởi vì chúng ta là trường hợp biên giới của tất cả thế giới “của họ”. "Chúng", tức là tất cả các thế giới địa ngục, nơi chúng là số nguyên tố. Đặc biệt, = 2 và thế giới hấp dẫn có một không hai này ...

Ở đây người đọc bài báo có thể trở nên tức giận và thậm chí tức giận. "Đây có phải là loại vô nghĩa mà các nhà toán học làm?" Họ tưởng tượng về việc uống vodka sau bữa tối, bằng tiền của tôi (= của người đóng thuế). Và phân tán chúng ra bốn bề gió, cho chúng về các nông trường của nhà nước ... ôi không còn trang trại nào của nhà nước nữa!

Thư giãn. họ luôn có xu hướng thích những trò đùa như vậy. Hãy để tôi chỉ đề cập đến định lý bánh sandwich: nếu tôi có một chiếc bánh sandwich pho mát và giăm bông, tôi có thể cắt nó thành một nhát để giảm một nửa phần bánh mì, giăm bông và pho mát. Điều này là vô ích trong thực tế. Vấn đề là đây chỉ là một ứng dụng vui nhộn của một định lý tổng quát thú vị từ phân tích hàm.

Mức độ nghiêm trọng của việc xử lý các số -adic và hình học liên quan như thế nào? Hãy để tôi nhắc nhở người đọc rằng các số hữu tỉ (nói một cách đơn giản: phân số) nằm dày đặc trên dòng, nhưng không điền nó chặt chẽ.

Số vô tỉ sống trong "lỗ hổng". Có rất nhiều, vô hạn trong số chúng, nhưng bạn cũng có thể nói rằng vô cực của chúng lớn hơn vô hạn của đơn giản nhất, trong đó chúng tôi đếm: một, hai, ba, bốn ... và cứ thế lên đến ∞. Đây là con người của chúng ta lấp đầy "lỗ hổng". Chúng ta đã thừa hưởng cấu trúc tinh thần này từ người pythagore. 

Nhưng điều thú vị và quan trọng đối với một nhà toán học là người ta không thể "lấp đầy" những lỗ hổng này bằng các số vô tỉ và p-adic (với mọi số nguyên tố p). Đối với những độc giả hiểu điều này (và điều này đã được dạy ở mọi trường trung học cách đây ba mươi năm), điểm mấu chốt là mọi chuỗi đáp ứng Bang Cauchy, hội tụ.

Khoảng trống trong đó điều này đúng được gọi là đầy đủ ("không có gì bị thiếu"). Tôi sẽ nhớ số 547721051611007740081787109376.

Dãy số 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772, v.v. hội tụ đến một giới hạn nhất định, xấp xỉ 0,5477210516110077400 81787109376.

Tuy nhiên, theo quan điểm của 10-adic khoảng cách, dãy số 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 và như vậy cũng quy tụ về số ... 547721051 611007740081787109376.

Nhưng thậm chí đó có thể không phải là lý do đủ để cung cấp tiền công cho các nhà khoa học. Nói chung, chúng tôi (các nhà toán học) tự bảo vệ mình bằng cách nói rằng không thể dự đoán nghiên cứu của chúng tôi sẽ hữu ích cho việc gì. Hầu như chắc chắn rằng mọi người đều sẽ có ích và chỉ hành động trên bình diện rộng mới có cơ hội thành công.

Một trong những phát minh vĩ đại nhất, máy X-quang, được tạo ra sau khi tình cờ phát hiện ra chất phóng xạ Bekkerela. Nếu không có trường hợp này, nhiều năm nghiên cứu có lẽ đã trở nên vô ích. "Chúng tôi đang tìm cách chụp X-quang cơ thể người."

Cuối cùng, điều quan trọng nhất. Mọi người đều đồng ý rằng khả năng giải phương trình đóng một vai trò nào đó. Và ở đây số lạ của chúng tôi được bảo vệ rất tốt. Định lý tương ứng (Tôi ghét chồn) nói rằng một số phương trình có thể được giải ở dạng số hữu tỉ nếu và chỉ khi chúng có gốc và gốc thực trong mọi thân -adic.

Ít nhiều thì cách tiếp cận này đã được trình bày Andrew Wiles, giải phương trình toán học nổi tiếng nhất trong ba trăm năm qua - tôi khuyên độc giả nên nhập nó vào công cụ tìm kiếm "Định lý cuối cùng của Fermat".