Bài báo về không có gì

Khi còn nhỏ, tôi đã bị cuốn hút bởi câu chuyện, có lẽ được nhiều độc giả biết đến, về "súp trên móng tay". Bà tôi (sinh thế kỷ XXNUMX) đã kể cho tôi nghe điều này trong phiên bản “Người Cossack đến xin nước, vì ông ấy có một cái đinh và ông ấy sẽ nấu súp trên đó.” Một bà chủ tò mò đưa cho anh ta một nồi nước… và chúng ta biết điều gì xảy ra tiếp theo: “canh phải mặn, thưa bà, bà, muối”, sau đó anh ta rửa thịt “để cải thiện mùi vị”, v.v. Cuối cùng, anh vứt móng "luộc" đi.

Vì vậy, bài báo này được cho là về sự trống rỗng của không gian - và đây là về cuộc đổ bộ của một bộ máy châu Âu lên sao chổi 67P / Churyumov-Gerasimenko vào ngày 12 tháng 2014 năm XNUMX. Nhưng trong khi viết, tôi đã có một thói quen lâu đời, Tôi vẫn là một nhà toán học. nó như thế nào với Nhưс Số không toán học?

Làm thế nào Không có gì tồn tại?

Không thể nói rằng Không có gì tồn tại. Nó tồn tại ít nhất như một khái niệm triết học, toán học, tôn giáo và hoàn toàn thông tục. Số XNUMX là một con số bình thường, XNUMX độ trên nhiệt kế cũng là nhiệt độ, và số XNUMX trong ngân hàng là một điều khó chịu nhưng vẫn thường xảy ra. Lưu ý rằng không có năm XNUMX trong niên đại, và điều này là do số XNUMX chỉ được đưa vào toán học vào cuối thời Trung cổ, muộn hơn niên đại do nhà sư Dionysius (thế kỷ XNUMX) đề xuất.

Thật kỳ lạ, chúng tôi thực sự có thể làm mà không có số XNUMX này và do đó, không có số âm. Trong một trong những cuốn sách giáo khoa về logic, tôi tìm thấy một bài tập: vẽ hoặc nói cách bạn tưởng tượng về sự vắng mặt của cá. Thật tuyệt vời phải không? Bất cứ ai cũng có thể vẽ một con cá, nhưng không phải một con?

Bây giờ ngắn gọn khóa học toán học cơ bản. Cấp đặc quyền tồn tại cho tập hợp trống được đánh dấu bằng vòng tròn gạch chéo ∅ là một thủ tục cần thiết tương tự như thêm số XNUMX vào tập hợp số. Tập hợp rỗng là tập hợp duy nhất không chứa bất kỳ phần tử nào. Bộ sưu tập như vậy:

Nhưng không có hai bộ trống khác nhau. Tập hợp trống được bao gồm trong mọi tập hợp khác:

Thật vậy, các quy tắc của logic toán học nói rằng tập hợp A được chứa trong tập hợp B nếu và chỉ khi câu:

nó đòi hỏi

Trong trường hợp tập rỗng ∅, mệnh đề luôn sai, và do đó, theo quy luật logic, hàm ý nói chung là đúng. Mọi thứ bắt nguồn từ một lời nói dối (“ở đây tôi sẽ trồng một cây xương rồng nếu bạn chuyển sang lớp tiếp theo…”). Vì vậy, vì tập hợp rỗng được chứa trong mỗi tập hợp còn lại, nên nếu chúng là hai tập hợp khác nhau, thì mỗi tập hợp này sẽ được chứa trong tập hợp kia. Tuy nhiên, nếu hai tập hợp chứa trong nhau thì chúng bằng nhau. Đó là lý do tại sao: chỉ có một bộ trống!

Định đề về sự tồn tại của một tập hợp rỗng không mâu thuẫn với bất kỳ định luật toán học nào, vậy tại sao không đưa nó vào thực tế? Nguyên tắc triết học được gọi làDao cạo của Occam»Lệnh loại trừ các khái niệm không cần thiết, nhưng vừa phải khái niệm về một tập hợp rỗng rất hữu ích trong toán học. Lưu ý rằng tập hợp rỗng có kích thước là -1 (trừ đi một) - các phần tử không chiều là điểm và hệ thống thưa thớt của chúng, các phần tử một chiều là các đường và chúng ta đã nói về các phần tử toán học rất phức tạp với kích thước Fractal trong chương về Fractal .

Điều thú vị là toàn bộ tòa nhà toán học: số, số, hàm, toán tử, tích phân, vi phân, phương trình ... có thể được bắt nguồn từ một khái niệm - tập hợp rỗng! Giả sử rằng có một tập hợp rỗng, các phần tử mới được tạo ra có thể được kết hợp thành tập hợp để có thể xây dựng tất cả các phép toán. Đây là cách nhà logic học người Đức Gottlob Frege xây dựng các số tự nhiên. Số không là một lớp của các tập hợp mà các phần tử của nó tương ứng với nhau với các phần tử của tập hợp rỗng. Một là một lớp của các tập hợp mà các phần tử của nó tương ứng với nhau với các phần tử của một tập hợp mà phần tử duy nhất của nó là tập hợp rỗng. Hai là một lớp của các tập hợp mà các phần tử của nó là XNUMX-XNUMX với các phần tử của tập hợp bao gồm tập hợp rỗng và tập hợp có phần tử duy nhất là tập hợp rỗng ... và v.v. Thoạt nghe, đây có vẻ là một điều gì đó rất phức tạp, nhưng thực tế không phải vậy.

Màu xanh lan tràn trên tôi

có mùi cây thạch nam và mùi bạc hà ...

Wojciech Mlynarski, Cô gái thu hoạch

Thật khó để tưởng tượng

Không có gì là khó để tưởng tượng. Trong câu chuyện "How the World Was Saved" của Stanisław Lem, nhà thiết kế Trurl đã chế tạo một cỗ máy có thể làm mọi thứ bắt đầu bằng một chữ cái. Khi Klapaucius ra lệnh xây dựng nó Nic, cỗ máy bắt đầu loại bỏ các vật thể khác nhau khỏi thế giới - với mục tiêu cuối cùng là loại bỏ mọi thứ. Vào thời điểm Klapaucius sợ hãi dừng xe lại, galeys, thủy tùng, treo, hack, vần, đập, pouf, máy xay, xiên, philidron và sương giá đã biến mất khỏi thế giới mãi mãi. Và quả thực, họ đã biến mất mãi mãi...

Józef Tischner đã viết rất hay về hư vô trong cuốn Lịch sử triết học miền núi của ông. Trong kỳ nghỉ cuối cùng của mình, tôi quyết định trải nghiệm sự hư vô này, cụ thể là tôi đã đến vùng đầm lầy than bùn giữa Nowy Targ và Jabłonka ở Podhale. Khu vực này thậm chí còn được gọi là Pustachia. Bạn đi, bạn đi, nhưng con đường không giảm - tất nhiên, ở quy mô Ba Lan khiêm tốn của chúng tôi. Một ngày nọ, tôi bắt xe buýt ở tỉnh Saskatchewan của Canada. Bên ngoài là một cánh đồng ngô. Tôi chợp mắt nửa tiếng. Khi tôi thức dậy, chúng tôi đang lái xe qua cùng một cánh đồng ngô... Nhưng chờ đã, chỗ này trống không? Theo một nghĩa nào đó, sự vắng mặt của sự thay đổi chỉ là sự trống rỗng.

Chúng ta đã quen với sự hiện diện liên tục của các đối tượng khác nhau xung quanh chúng ta, và Thứ gì đó bạn không thể bỏ chạy ngay cả khi nhắm mắt. Descartes nói: “Tôi nghĩ là vậy. Nếu tôi đã nghĩ điều gì đó, thì tôi tồn tại, có nghĩa là có ít nhất một cái gì đó trên thế giới (cụ thể là tôi). Những gì tôi nghĩ có tồn tại không? Điều này có thể được thảo luận, nhưng trong cơ học lượng tử hiện đại, nguyên lý Heisenberg được biết đến: mỗi quan sát làm đảo lộn trạng thái của đối tượng được quan sát. Cho đến khi chúng ta nhìn thấy nó Nic nó không tồn tại, và khi chúng ta bắt đầu tìm kiếm, đối tượng không còn là Như và nó trở thành Thứ gì đó. Nó trở nên vô lý nguyên tắc nhân học: Chẳng có ích gì khi hỏi thế giới sẽ như thế nào nếu chúng ta không tồn tại. Thế giới là những gì nó có vẻ với chúng tôi. Có lẽ những sinh vật khác sẽ nhìn thấy Trái đất là góc cạnh?

Một positron (electron dương như vậy) là một lỗ trống trong không gian, "không có điện tử." Trong quá trình hủy, electron nhảy vào lỗ trống này và “không có gì xảy ra” – không có lỗ trống, không có electron. Tôi sẽ bỏ qua rất nhiều câu chuyện cười về những lỗ hổng trong pho mát Thụy Sĩ (“tôi càng có nhiều thì càng ít…”). Nhà soạn nhạc nổi tiếng John Cage đã sử dụng ý tưởng của mình đến mức ông ấy đã sáng tác (?) một bản nhạc (?), trong đó dàn nhạc ngồi bất động trong 4 phút 33 giây và tất nhiên là không chơi gì cả. “Bốn phút ba mươi ba giây là hai trăm bảy mươi ba, 273, và âm 273 độ là độ không tuyệt đối, tại đó mọi chuyển động đều dừng lại,” nhà soạn nhạc (?) giải thích.

Lọc thành không, không có gì, nick, nick, nothing, zero!

Jerzy trong phim của Andrzej Wajda Over the Years,

ngày trôi qua "

Còn mọi người thì sao?

Nhiều người (từ những người nông dân giản dị đến những nhà triết học lỗi lạc) đã thắc mắc về hiện tượng tồn tại. Trong toán học, tình huống rất đơn giản: có một cái gì đó nhất quán.

Cô ấy biến mất trong những cánh đồng biên

Trong hoa ngô, cỏ dại và miệng sư tử ...

Chà, những chuyện như thế này xảy ra

Đặc biệt là trong vụ thu hoạch, và trong vụ thu hoạch

đặc biệt là…

Wojciech Mlynarski, Cô gái thu hoạch

Mọi thứ đều ở một thái cực khác của Không có gì. Trong toán học, chúng ta biết rằng Mọi thứ không tồn tại. Chỉ là một quan niệm quá thiếu chính xác rằng sự tồn tại của anh ta sẽ không có gì phải bàn cãi. Có thể hiểu điều này qua ví dụ về nghịch lý cũ: "Nếu Thượng đế toàn năng, thì tạo ra hòn đá nào để nhặt?" Chứng minh toán học rằng không thể có tất cả các tập hợp dựa trên định lý ca sĩ-Bershtein, nói rằng "một số vô hạn" (toán học: bảng số) tập hợp tất cả các thành viên của một tập hợp đã cho lớn hơn số phần tử của tập hợp này.

Nếu một tập hợp có các phần tử, thì nó có 2ⁿ tập hợp con; ví dụ: khi = 3 và tập hợp bao gồm {1, 2, 3}, thì các tập hợp con sau sẽ tồn tại:

• ba bộ hai phần tử: mỗi bộ thiếu một trong các số 1, 2, 3,
• một bộ trống,
• ba bộ một phần tử,
• cả bộ {1,2,3}

– chỉ tám, 2³Còn những độc giả mới ra trường, tôi xin nhắc lại công thức tương ứng:

Mỗi ký hiệu Newton trong công thức này xác định số bộ phần tử k trong tập hợp-gia tốc.

Trong toán học, hệ số nhị thức xuất hiện ở nhiều nơi khác, chẳng hạn như trong các công thức thú vị cho phép nhân rút gọn:

và từ dạng chính xác của chúng, sự phụ thuộc lẫn nhau của chúng thú vị hơn nhiều.

Thật khó để hiểu điều gì - liên quan đến logic và toán học - là gì, và điều gì không phải là Vạn vật. Lập luận cho sự không tồn tại Cũng giống như của Winnie the Pooh, người đã lịch sự hỏi khách của mình, Tiger, Tiger có thích mật ong, quả sồi và cây tật lê không? “Những con hổ thích mọi thứ,” câu trả lời mà Kubus kết luận rằng nếu chúng thích mọi thứ, thì chúng cũng thích ngủ trên sàn, vì vậy, anh ấy, Vinnie, có thể trở lại giường.

Một lập luận khác Nghịch lý của Russell. Có một người thợ cắt tóc trong thị trấn đã cạo râu cho tất cả những người đàn ông không tự cạo râu. Anh ấy có tự cạo râu không? Cả hai câu trả lời đều mâu thuẫn với điều kiện đưa ra là họ giết những người, và chỉ những người không tự làm điều đó.

Tìm kiếm một bộ sưu tập của tất cả các bộ sưu tập

Cuối cùng, tôi sẽ đưa ra một bằng chứng toán học thông minh, nhưng hầu hết là không có tập hợp nào là tất cả các tập hợp (đừng nhầm lẫn với nó).

Đầu tiên, chúng ta sẽ chỉ ra rằng đối với bất kỳ tập X không rỗng nào, không thể tìm thấy một hàm duy nhất lẫn nhau ánh xạ tập này với tập các tập con P (X) của nó. Vì vậy, giả sử rằng chức năng này tồn tại. Hãy biểu thị nó bằng f truyền thống. F là gì từ x? Đây là một bộ sưu tập. Xf có thuộc x không? Điều này là không rõ. Hoặc bạn phải hoặc bạn không. Nhưng đối với một số x, nó vẫn phải sao cho nó không thuộc f của x. Vậy thì, hãy xem xét tập hợp tất cả x mà x không thuộc f (x). Kí hiệu nó (tập hợp này) bằng A. Nó tương ứng với một phần tử a nào đó của tập hợp X. a có thuộc A không? Hãy giả sử bạn nên làm như vậy. Nhưng A là một tập hợp chỉ chứa những phần tử của x không thuộc f (x) ... Chà, có lẽ nó không thuộc A? Nhưng tập A chứa tất cả các phần tử của thuộc tính này, và do đó cũng là A. Kết thúc chứng minh.

Do đó, nếu có một tập hợp tất cả các tập hợp, thì bản thân nó sẽ là một tập hợp con của chính nó, điều này là không thể theo suy luận trước đó.

Phù, tôi không nghĩ nhiều độc giả đã xem được bằng chứng này. Đúng hơn, tôi đưa nó lên để cho thấy các nhà toán học phải làm gì vào cuối thế kỷ XNUMX, khi họ bắt đầu nghiên cứu nền tảng khoa học của riêng họ. Nó chỉ ra rằng các vấn đề nằm ở nơi mà không ai mong đợi chúng. Hơn nữa, đối với toàn bộ toán học, những lý luận về cơ sở này không quan trọng: không có vấn đề gì xảy ra trong hầm - toàn bộ tòa nhà toán học đứng trên một tảng đá vững chắc.

Trong khi đó, ở đầu ...

Chúng tôi lưu ý thêm một đạo lý từ những câu chuyện của Stanislav Lem. Trong một chuyến du hành của mình, Iyon Tichi đã đến được một hành tinh mà cư dân của nó, sau một quá trình tiến hóa lâu dài, cuối cùng đã đạt đến giai đoạn phát triển cao nhất. Họ đều mạnh mẽ, họ có thể làm bất cứ điều gì, họ có mọi thứ trong tầm tay của họ… và họ không làm gì cả. Họ nằm xuống cát và đổ nó vào giữa các ngón tay của họ. “Nếu mọi thứ đều có thể xảy ra thì điều đó không đáng,” họ giải thích cho Ijon bị sốc. Cầu mong điều này không xảy ra với nền văn minh châu Âu của chúng ta ...